Ejercicios de Álgebra

77 ejercicios de Álgebra de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II que han salido en la Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018-2026. Con solución.

Pregunta 2 - Opción 2.1 · Extraordinaria 2026

Dadas las matrices A, B y C: a) Calcular D = (AB + I)^(-1). b) Obtener el valor de k para verificar AA^t - kB^tB = C.

Pregunta 2 - Opción 2.2 · Extraordinaria 2026

Discutir el sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro real 'a' según sus valores, y resolverlo para el caso particular a = 3.

Pregunta 1.b - Álgebra · Extraordinaria Coincidencias 2026

Planteamiento y resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales para hallar la cantidad de aceite de rosa mosqueta comprado a Saviah, a Naturaelis y almacenado.

Pregunta 3 - Opción 3.1 · Ordinaria 2026

Pregunta 3.1: Dadas las matrices A y B, calcular la matriz X en la ecuación AXB = A + B y el determinante |C^2 B|, siendo C = 2(A^(-1))^t.

Ejercicio 2 - Pregunta 2.1 · Extraordinaria 2025

Discutir el sistema de ecuaciones dependiente de un parámetro real a y resolverlo para a = 2.

Ejercicio 2 - Pregunta 2.1 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Dadas las matrices A = ((1, -1), (0, -1)) y B = ((1, -1, 1), (-1, 1, -1)), se pide: a) Calcular A^20 y A^21. b) Resolver la ecuación matricial X A = B B^t A^(-1).

Ejercicio 2 - Pregunta 2.2 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Pregunta 2.2: Se considera un sistema lineal dependiente del parámetro real a. a) Discuta el sistema en función de a (1,5 puntos). b) Resuelva el sistema para a = -1 (1 punto).

Ejercicio 2 - Pregunta 2.1 · Modelo 2025

Se consideran las matrices A y B. En el apartado a) se pide calcular la matriz D que cumple B(D^t + A^(-1))B^(-1) = 2I. En el apartado b) se pide calcular A^4 sabiendo que A^2 = A + 2I.

Ejercicio 2 - Pregunta 2.2 · Modelo 2025

Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a: a) Discuta el sistema en función de los valores de a; b) Resuelva el sistema para a = 1.

Ejercicio 1 · Ordinaria 2025

Sistema de ecuaciones sobre venta de tres variedades de sandía: a) hallar los kilos de cada variedad para recaudar 5400€ con los 2700 kg almacenados; b) determinar si existe un precio único que permita recaudar lo mismo vendiendo los 2700 kg, hallar ese precio y justificar si las cantidades de cada variedad serían…

Ejercicio 1.b - Álgebra · Ordinaria Coincidencias 2025

1.b) Discutir mediante un sistema de ecuaciones lineales si es posible fabricar sillas, mesas y estanterías cumpliendo: total = 100, 4 sillas por cada mesa, y 5 veces las mesas más las estanterías = 90.

Problema 1 · Extraordinaria 2024

Operaciones matriciales con parámetros y cálculo de matriz inversa y potencias a partir de una relación polinomial.

Problema 6 · Extraordinaria 2024

En una tienda de música hay 70 instrumentos entre guitarras, pianos y violines. La cantidad de pianos más violines es igual a la de guitarras. Si hubiera el mismo número de violines pero el doble de pianos y cuatro veces el de guitarras, el total sería 180. Plantear el sistema y determinar el número de instrumentos de…

Problema 7 · Extraordinaria 2024

Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: 2x+y+3z=2, 3x+y+z=0, 8x+ay+5z=2. a) Discutir según los valores de a. b) Resolver para a = 3.

Problema 1 · Extraordinaria Coincidencias 2024

1. Se considera la matriz A = ((a, -1), (4, b)). a) Determinar a, b para que A^2 = O. b) Para a = 2 y b = -2, siendo B = A + I, calcular B^2 y B^10.

Problema 6 · Extraordinaria Coincidencias 2024

De cada 100 libros prestados en una biblioteca, 90 son novelas, biografías y libros de autoayuda. Los libros de autoayuda son la mitad de las novelas y las biografías son 5 menos que las novelas. Plantear el sistema y calcular el porcentaje de libros prestados de cada tipo.

Problema 7 · Extraordinaria Coincidencias 2024

Discutir el sistema de ecuaciones lineales dependiente de a y resolverlo para a = -1.

Problema 1 · Modelo 2024

Se consideran las matrices A y B dependientes de los parámetros a y c. a) Hallar los valores de a y c para los que A*B = 6B. b) Para a = 1 y c = -1, calcular B^t * A * B.

Problema 6 · Modelo 2024

Una caja de Lego contiene un total de 50 piezas de tres tipos (A, B, C). La cantidad de tipo A más la del tipo B es igual a 4 veces la del tipo C. Si a las piezas del tipo A le sumamos el doble de las del tipo B y 4 veces las del tipo C, el total sería 100. Plantear el sistema y calcular la cantidad de piezas de cada…

Problema 7 · Modelo 2024

Discutir el sistema dependiente del parámetro a: a^2 x - ay = a, a^3 x - y = 1. Resolver para a = 2.

Problema 1 · Ordinaria 2024

Dada la matriz A de orden 3x3 dependiente de a: a) Determinar los valores de a para los que existe inversa. b) Para a = -2, calcular A^{-1}.

Problema 6 · Ordinaria 2024

Un equipo de baloncesto ha vendido 600 entradas de tres tipos (generales a 10€, estudiante a 8€, infantiles a 5€), ganando 4900€, y ha vendido el doble de generales que de infantiles. Plantear el sistema de ecuaciones y resolverlo para hallar el número de entradas de cada tipo.

Problema 7 · Ordinaria 2024

Discutir el sistema dependiente de a: 2x + y + z = a, x + ay + z = a + 1, x + y + az = 2 en función de los valores del parámetro a, y resolverlo para a = 1.

Problema 1 · Ordinaria Coincidencias 2024

Dadas las matrices A (3x3) y B (3x1), calcular los productos A·B y A³·B, y el determinante de A - 2I.

Problema 6 · Ordinaria Coincidencias 2024

Alba, Benito y Charo reciben 6200 euros en total. La parte de Alba excede en 200 euros a la suma de Benito y Charo. Si Alba diera 600 euros a Benito, ambos tendrían lo mismo. Plantea el sistema y calcula cuánto recibe cada uno.

Problema 7 · Ordinaria Coincidencias 2024

Discutir el sistema dependiente de a: { x+y+az=2, x+y+z=a, -2x+2ay+8z=-13 }. Resolverlo para a=0.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2023

Dada la matriz A de orden 3x3: a) Determine A^3 y A^2023. b) Estudie si A es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2023

Discutir el sistema dependiente del parámetro a: ax + y + 2z = 1, x + ay + 2z = a, x + 2y + az = 1. Resolver el sistema para a = 0.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria Coincidencias 2023

Se consideran las matrices A = ((5, 2), (2, 1)) y B = ((1, 0, 1), (0, 1, 1)). a) Determine la matriz X tal que A·X = B. b) Calcule B·B^t·A^(-1).

Ejercicio B.1 · Extraordinaria Coincidencias 2023

Discuta según los valores de a y resuelva para a = 1 el sistema de ecuaciones dado.

Ejercicio A.1 · Modelo 2023

Dada la matriz A de orden 3 con parámetro a: a) Determinar los valores de a para los cuales A es invertible. b) Calcular la inversa de A para a = 1.

Ejercicio B.1 · Modelo 2023

Discutir la compatibilidad del sistema de ecuaciones con parámetro a y resolverlo para a = 2.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2023

Estudio de inversibilidad y cálculo de la matriz inversa de una matriz 3x3, y resolución de una ecuación matricial A · X = [1, 1, 1]^T.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2023

Una pastelería tiene 220 buñuelos de chocolate, nata y crema. Hay el doble de buñuelos de nata que de crema. El doble de la cantidad de buñuelos de crema más el triple de los de chocolate es igual al doble de la cantidad de los buñuelos de nata. Calcule la cantidad de buñuelos de cada tipo.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2023

Se considera la matriz A dada por A = ((-1, 1), (-1, 2)). a) Calcule A^2 - A. b) Estudie si la matriz A es invertible y, en caso afirmativo, calcule su inversa.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2023

Discuta el sistema dependiente del parámetro a: x + y - z = 2; 2x + ay = 1; x - 2y + z = -1. Resuelva el sistema para a = -1.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2022

Dadas las matrices A, B, X e Y con parámetro a: a) Determinar los valores de a para los que A tiene inversa. b) Para a = 1, resolver el sistema (A - B)X = Y.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2022

Considere el sistema dependiente de a: x + ay + z = 2; x - az = 0; x + y + z = 2. a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de a. b) Resuelva el sistema para a = 0.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria Coincidencias 2022

Dadas las matrices A(a), B e Y, determinar los valores de a para los que A tiene inversa y calcular a para que (A - B)X = Y tenga por solución X = (0, -1, 0)^t.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria Coincidencias 2022

Considere el sistema de ecuaciones con parámetro a: x + 2y + z = 2, ax - z = 0, ay + z = a. a) Determine a para que el sistema NO sea compatible determinado. b) Resuelva el sistema para a = 2.

Ejercicio A. 1. · Modelo 2022

Se considera la matriz A de orden 3x3 dependiente del parámetro a. a) Determinar los valores de a para los cuales A es invertible. b) Para a = 0, calcular la matriz inversa A^-1.

Ejercicio B. 1. · Modelo 2022

Discutir el sistema dependiente de a y resolverlo para a = -2.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2022

Se considera la matriz 3x3 dependiente del parámetro a. Se pide: a) Determinar los valores del parámetro real a para los cuales la matriz A es invertible. b) Calcular la matriz inversa A^(-1) para a = 1.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2022

Discutir la compatibilidad del sistema lineal dependiente del parámetro a y resolverlo para a = 2.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2022

Se consideran las matrices A = ((0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0)) y B = A + aI, donde I es la matriz identidad de orden 3 y a es un número real. a) Calcule A(A^2 - A^4). b) Calcule los valores de a para que las matrices B y AB sean invertibles.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2022

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: 2ax + z = 1; ax - y + z = 0; ay + z = a + 1. a) Discuta la compatibilidad del sistema para diferentes valores de a. b) Resuelva el sistema para a = 0.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2021

Estudio de los valores del parámetro real a para los que la matriz A tiene inversa y resolución de la ecuación matricial AX = B para a = 2.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2021

Se considera el sistema: x + 2ay + z = 0, -x - ay = 1, -y - z = -a. a) Discuta el sistema en función del parámetro real a. b) Resuelva el sistema para a = 3.

Ejercicio A. 3. · Extraordinaria Coincidencias 2021

Condición de invertibilidad según parámetro a y cálculo de la matriz inversa A^-1 para a = 1.

Ejercicio B. 1. · Extraordinaria Coincidencias 2021

Discuta el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro a: x + y + z = 9, x + y - az = 0, y + az = 3 para los diferentes valores de a. Resuelva el sistema para a = -2.

Ejercicio A. 1. · Modelo 2021

Operaciones con matrices cuadradas con parámetros para cumplir A^2 = A - B, estudio de inversibilidad y cálculo de la matriz inversa.

Ejercicio B. 2. · Modelo 2021

Discutir un sistema de tres ecuaciones con parámetro a según Rouché-Fröbenius y resolverlo para a = 0.

Ejercicio A. 1 · Ordinaria 2021

Se considera la matriz A. a) Determine los valores de los parámetros reales a y b para los que A = A^(-1). b) Para a = b = 2, calcule la matriz inversa de A.

Ejercicio B. 1 · Ordinaria 2021

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real a: x + y - z = -1 x - y + a^2 z = 3 2x - y + z = 4 a) Discuta el sistema en función de los valores del parámetro a. b) Resuelva el sistema para a = 1.

Ejercicio A. 1 · Ordinaria Coincidencias 2021

Estudio de los valores del parámetro a para los que la matriz A no es invertible y resolución de la ecuación matricial AX = B para a = 1.

Ejercicio B. 2 · Ordinaria Coincidencias 2021

B.2. Determinar cuántos juguetes de 1, 2 y 5 euros se compran con 228 euros sabiendo las proporciones entre cada tipo de juguete.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2020

Dada la matriz A = ((2, 5a), (a, 3)) con a perteneciente a R: a) Determine los valores de a para los que A^2 - 5A = -I. b) Calcule A^(-1) para a = -1.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2020

Discutir el sistema dependiente de a y resolverlo para a = 3.

Ejercicio A.1 · Modelo 2020

Se consideran las matrices A = ((a, 1), (b, 2)), I = ((1, 0), (0, 1)), B = ((1, 1), (1, 1)). a) Calcule los valores de a y de b para que se verifique A^2 = 2I. b) Para a = 0 y b = 2, determine la matriz X tal que XA = B - X.

Ejercicio B.1 · Modelo 2020

Dadas las matrices A, B y C: a) Hallar m tal que A · B = C^t. b) Para m = 0, calcular la matriz inversa B^{-1}.

Ejercicio B.2 · Modelo 2020

Discutir el sistema de ecuaciones con parámetro a: x + ay + z = 6, 2x - y + z = a - 1, -x + y + z = 2 en función de a. Resolver el sistema para a = 2.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2020

Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: x + ay = 0; x + 2z = 0; x + ay + (a+1)z = a. a) Discuta el sistema según los valores de a. b) Resuelva el sistema para a = 0.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2020

Dada la matriz A con parámetro m, calcular m para que A^2 - 5A = -4I. Para m=1, indicar si A es invertible y hallar su inversa.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2020

Considere la matriz A dada. a) Calcule A^2 y A^10. b) Calcule (AA - 3I)^(-1), donde I es la matriz identidad de orden 3.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2020

Discutir el sistema dependiente del parámetro a: 3x + 2y + z = 2a, 2x + ay + 2z = 3, -x - y - z = 2. Resolverlo para a = 0.

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2019

Dadas las matrices A (con parámetro a) y B, calcular los valores de a para los cuales A no tiene inversa, y para a = 3 calcular A⁻¹ y resolver A·X = B.

Opción B - Ejercicio 2 · Extraordinaria 2019

Se consideran la matriz A de orden 3x3 y la matriz (AB)^(-1). Se pide calcular la matriz inversa A^(-1) y la matriz inversa B^(-1).

Opción A - Ejercicio 1 · Modelo 2019

Dadas las matrices A y B con un parámetro real m: a) Determinar los valores de m para los que A es invertible. b) Resolver la ecuación matricial A·X = A·B + B: expresar X en función de A y B, y calcular X para m = 5.

Opción B - Ejercicio 1 · Modelo 2019

Discusión y resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas dependiente de un parámetro real a.

Opción A - Ejercicio 1 · Ordinaria 2019

Dadas las matrices A (3x3 con parámetro k), B (3x3) y C (3x2), se pide calcular k para que det(A - 2B) = 0 y determinar si C y C^t · C son invertibles, calculando las inversas en caso afirmativo.

Opción B - Ejercicio 1 · Ordinaria 2019

Discusión de un sistema homogéneo en función del parámetro m para que existan soluciones distintas de la trivial, y resolución del sistema para m = 1.

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2018

Considérense las matrices A de dimensión 3x2 y B de dimensión 3x1. a) Calcúlese [(A·A^t)^2 - 2A·A^t]^11. b) Determínense el número de filas y columnas de la matriz X tal que X·A^t = B^t. Justifíquese si A^t es invertible y calcúlese la matriz X.

Opción B - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2018

Se considera el sistema de ecuaciones dependiente de a: x + 3y + z = a; 2x + ay - 6z = 8; x - 3y - 5z = 4. a) Discútase en función de a. b) Resuélvase para a = 4.

Opción A - Ejercicio 1 · Modelo 2018

Dada la matriz A de orden 3 dependiente de un parámetro a, determinar para qué valores de a es invertible y resolver la ecuación matricial A·X = A + 2Id para a = 1.

Opción B - Ejercicio 1 · Modelo 2018

Discutir en función del parámetro a y resolver para a = 1 el sistema de ecuaciones: x + y + z = 3, 2x + y + z = 2, 5x + 3y + az = a + 4.

Opción A - Ejercicio 1 · Ordinaria 2018

Matrices A y B de orden 2. a) Comprobar que B es la inversa de A calculando el producto A · B. b) Resolver la ecuación matricial A · X = B despejando X = A^(-1) · B = B^2.

Opción B - Ejercicio 1 · Ordinaria 2018

Se considera el sistema: x + ay + z = 1, ax + y + (a - 1)z = a, x + y + z = a + 1. a) Discutir en función de a. b) Resolver para a = 3.

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