Problema B2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Extraordinaria 2025

Tema: Matrices, inversa y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2025)

Enunciado

Problema B2. — Considera les matrius quadrades AA, BB, MM, i NN de mida 3×33 \times 3.

a)

Calcula tots els valors de xx tals que A2=AA^2 = A, on:

A=(7x49x6−62−3).A = \begin{pmatrix} 7 & x & 4 \\ 9 & x & 6 \\ -6 & 2 & -3 \end{pmatrix}.

b)

Troba una matriu BB invertible, tal que B2=BB^2 = B.

c)

Donades dues matrius MM i NN invertibles tals que M2=MM^2 = M i N2=NN^2 = N, construïm la matriu següent: C=N⋅M⋅N−1C = N \cdot M \cdot N^{-1}. És cert que C2=CC^2 = C?

Sí

No

Enunciado: Problema B2 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Baleares Extraordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcula tots els valors de x tals que A² = A

Solución: -2

b) Troba una matriu B invertible, tal que B² = B

Solución: Id / I / matriu identitat / ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))

c) Justificació de que C² = C

Solución: C² = (N·M·N⁻¹)(N·M·N⁻¹) = N·M·(N⁻¹·N)·M·N⁻¹ = N·M²·N⁻¹ = N·M·N⁻¹ = C

c) Donades dues matrius M i N invertibles tals que M² = M i N² = N, construïm la matriu següent: C = N·M·N⁻¹. És cert que C² = C?

Solución: Sí

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