Problema 1 · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Madrid Extraordinaria 2024

Se consideran las matrices $M$, $P$ y $N$ dadas por:$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

a)

Determine los valores de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ para los que se verifica:$$M \cdot N = 2N \quad \text{y} \quad (N^t \cdot M)^t + M \cdot P = N$$

b)

Para $a = 0$, $b = -1$ y $c = -2$, compruebe que $M^2 = M + 2I$, donde $I$ denota la matriz identidad de tamaño $2 \times 2$, y utilice dicha igualdad para calcular $M^{-1}$ y $M^3$.