Ejercicios de Geometría

67 ejercicios de Geometría de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018-2026. Con solución paso a paso.

Pregunta 4.1 · Extraordinaria 2026

Pregunta 4.1. a) Estudie la posición relativa de las rectas r1 y r2. b) Halle una recta r3 tal que las intersecciones de r1, r2 y r3 formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en r2 y tenga longitud sqrt(2).

Pregunta 4.2 · Extraordinaria 2026

Pregunta 4.2. Se consideran el punto P(1, 2, 1) y el plano 2x - 2y + z = 1. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en P. a) Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen. b) Halle otro vértice del cubo.

Pregunta 4.1 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Sean la recta r ≡ (x,y,z) = (1+t, 1+t, 1+t) y el plano π : x+y+z = 0. a) Determine la posición relativa de la recta r y el plano π. b) Halle los puntos de la recta r que se encuentran a distancia √3 del plano π.

Pregunta 4.2 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Sea la recta r ≡ (x, y, z) = (t, 1, t), t ∈ R. a) Hallar dos planos que se corten en la recta r, que formen entre sí un ángulo de 90° y uno de ellos pase por el punto (0, 0, 1). b) Justificar que todas las rectas contenidas en los dos planos obtenidos en el apartado anterior que no tienen puntos en común con la recta…

Pregunta 3 · Ordinaria 2026

Pregunta 3: Dados el plano pi: 2x + 2y - z = 13 y la recta r: (x-2)/1 = y/1 = z/4. a) Hallar el punto simétrico de P(2,0,0) respecto a pi. b) Responder a uno de los dos: b1) Hallar la distancia entre pi y r; b2) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y es ortogonal a pi.

Pregunta 3 · Ordinaria Coincidencias 2026

Determinar la posición relativa de la recta r que pasa por A(1,2,-5) y B(2,4,-11) y la recta s dada por x - 2y + 3z = 3, x - y = 0.

Pregunta 3 - b1) · Ordinaria Coincidencias 2026

Hallar la distancia entre la recta s (intersección de x - 2y + 3z = 3 y x - y = 0) y la recta t, que es paralela a s y pasa por C(1, 0, 0).

Pregunta 3 - b2) · Ordinaria Coincidencias 2026

Halle el coseno del ángulo que forman las rectas r y s, donde r pasa por A(1, 2, -5) y B(2, 4, -11) y s viene dada por x - 2y + 3z = 3, x - y = 0.

Pregunta 3.1 · Extraordinaria 2025

Pregunta 3.1: Dados los puntos A(1,1,2), B(2,-1,0), C(-2,0,3), D(2,-3,-1) y la recta r: (x-1)/2 = y+1 = z/(-1). a) Comprobar si son coplanarios y calcular el volumen del tetraedro ABCD. b) Calcular el área de la cara ABC y la altura desde el vértice D. c) Calcular la distancia entre la recta r y la recta determinada…

Pregunta 3.2 · Extraordinaria 2025

Dados los puntos A(0, 0, 1) y B(1, 0, 1), se pide: a) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje OZ y que pasa por A y B. b) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano z = 1 que diste una unidad tanto de A como de B.

Pregunta 3.1 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Sean el punto A(1, 2, 3), la recta r ≡ (x-1)/2 = y/0 = (z-2)/1 y el plano π: x + 2y - 2z = 1. a) Distancia de r a π. b) Proyección ortogonal de A sobre r. c) Volumen del tetraedro formado por el origen y los puntos de corte con los ejes coordenados de un plano paralelo a π que pasa por A.

Pregunta 3.2 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Sea S el segmento de recta que une A(0, 1, 0) y B(1, 0, 1). a) Hallar un punto sobre S cuya distancia a A sea el doble que a B. b) Hallar la ecuación del plano perpendicular a S que pasa por el punto medio de S.

Pregunta 3.1 · Modelo 2025

Pregunta 3.1: Dados A(0,0,0), B(1,1,1) y r ≡ (x,y,z) = (λ, λ, λ+1): a) Hallar la ecuación del plano respecto del cual A y B son simétricos. b) Hallar la ecuación del plano que contiene a r y pasa por B. c) Hallar la ecuación de una recta paralela a r que pase por A.

Pregunta 3.2 · Modelo 2025

Dados los tres planos π₁: -2x - 2y + z = 0, π₂: -2x + y - 2z = 0 y π₃: x - 2y - 2z = 0, determinar el ángulo que forman dos a dos, su intersección, el punto P conocidas sus proyecciones ortogonales Q₁ y Q₂ sobre π₁ y π₂, y la proyección Q₃ de P sobre π₃.

Pregunta 3.1 · Ordinaria 2025

Dados la recta r: (x-1)/2 = y/0 = (z-2)/1 y el plano pi: x + 2y - 3z = 1, calcular: a) La ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a pi. b) La ecuación de la recta contenida en pi que corta perpendicularmente a r. c) Los puntos de r cuya distancia a pi es sqrt(14).

Pregunta 3.2 · Ordinaria 2025

Sean el punto P(0, 1, 1) y el plano π: x + y = 2. a) Hallar la distancia del punto P al plano π. b) Determinar el punto Q del plano π cuya distancia a P es igual que la distancia de P a π. c) Hallar el área del triángulo formado por P y los puntos de corte del plano π con los ejes coordenados.

Pregunta 3 · Ordinaria Coincidencias 2025

Sara revisa una estructura de vigas metálicas V1 (extremos A(1,2,-3) y B(1,6,1)) y V2 (extremos C(-2,-8,7) y D(10,-4,7)). a) Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida soldada a los puntos medios de V1 y V2, y los cosenos de los ángulos que forma con V1 y V2. b) Calcule las coordenadas de los extremos…

Ejercicio A.3 · Extraordinaria 2024

Determinar el plano mediador entre P(1,-1,3) y Q(2,1,-1) y calcular el tercer vértice en la recta r tal que la suma de los cuadrados de los lados del triángulo sea 34.

Ejercicio B.3 · Extraordinaria 2024

Dado el punto P(5, -1, 2) y las rectas r: (x-2)/3 = (y+1)/(-1) = z/1 y s: {x - y = 5, x + z = 3}, estudiar su posición relativa y hallar la distancia entre ellas, y determinar la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

Ejercicio A.3 · Modelo 2024

Determinación de rectas en el espacio: una paralela a un plano y perpendicular a una recta pasando por (1,1,1), y otra contenida en el plano que forma pi/4 radianes con r pasando por (0,0,0).

Ejercicio B.3 · Modelo 2024

Comprobar si cuatro puntos son coplanarios y hallar el volumen del tetraedro; hallar área y ángulo del triángulo BCD; hallar un punto E tal que ABCE sea paralelogramo y el área del paralelogramo.

Ejercicio A.3 · Ordinaria 2024

Geometría en el espacio: ecuación de un plano perpendicular y determinación de rectas paralelas con distancia dada.

Ejercicio B.3 · Ordinaria 2024

Geometría en el espacio: volumen de un tetraedro y determinación de los vértices de un paralelepípedo.

Ejercicio A.3 · Ordinaria Coincidencias 2024

Dados el punto P(-1, 2, 6), el plano π: 3x - 2y + z - 5 = 0 y la recta s, hallar la recta que pasa por P, secante a s y paralela a π, y el punto simétrico de P respecto a π.

Ejercicio B.3 · Ordinaria Coincidencias 2024

Emisor láser en A(1, 0, -1) apuntando hacia B(3, 1, 0). Incide en P del plano pi: (x=2-alpha, y=2+2beta, z=alpha-2beta). a) Ecuación del plano de incidencia perpendicular a pi que contiene al rayo. b) Distancia de A a P. c) Ángulo que debe girar el emisor para que la distancia a pi sea mínima.

Ejercicio A.3 · Extraordinaria 2023

Puntos P y Q y plano pi: z = 1. Verificar pertenencia, hallar recta paralela a r en z=0 y recta proyectable en r con ángulo pi/4.

Ejercicio B.3 · Extraordinaria 2023

Dados el plano π: x + 3y + 2z + 14 = 0 y la recta r: x = 2, z = 5. Hallar el punto de π más próximo al origen, la proyección ortogonal del eje OZ sobre π, y la recta perpendicular a r contenida en π que corta a OZ.

Ejercicio A.3 · Modelo 2023

Depósito en forma de paralelepípedo de base cuadrada ABCD sobre el plano rampa 4x - 3z = 1. A(1, 1, 1), B(1, 3, 1), A'(1, 1, 6). Hallar: plano que contiene a AB y AA', vértices C y D de la base, y volumen del depósito.

Ejercicio B.3 · Modelo 2023

Estudio de la posición relativa de rectas, cálculo del ángulo entre rectas y proyección ortogonal de un punto sobre una recta.

Ejercicio A.3 · Ordinaria 2023

Geometría en el espacio con tres puntos A, B y C: comprobación de triángulo y ecuación del plano, corte de la recta AB con el plano z = 1, y perímetro del triángulo.

Ejercicio B.3 · Ordinaria 2023

Posición relativa de recta y plano, proyección ortogonal de un punto en un plano y punto simétrico respecto a una recta.

Ejercicio A.3 · Ordinaria Coincidencias 2023

Dados cuatro planos en el espacio, comprobar paralelismo y perpendicularidad entre ellos, hallar una recta paralela a los cuatro que pasa por (1, 0, 2), y hallar dos planos perpendiculares a ellos tales que el paralelepípedo tenga volumen 1.

Ejercicio B.3 · Ordinaria Coincidencias 2023

Dadas la recta r y los planos pi y pi', comprobar que pi y pi' se cortan y hallar su ángulo; estudiar posición relativa de r y pi y hallar su punto de corte; y hallar los puntos de r que equidistan de pi y pi'.

Ejercicio A.3 · Extraordinaria 2022

Encuentre los posibles vértices C y D de un cuadrado en el plano π ≡ z = x si A(0, -1, 0) y B(0, 1, 0) son contiguos, y luego si A y B son vértices opuestos.

Ejercicio B.3 · Extraordinaria 2022

Rectas r y s. a) Posición relativa y distancia entre ellas. b) Ecuación del plano que las contiene. c) Ecuación de la recta que pasa por los puntos de r y s con z = 0.

Ejercicio A.3 · Modelo 2022

Una sonda viaja en línea recta pasando por P(1,0,2) y Q(3,1,0) hasta impactar con el plano 2x - y + 2z + 5 = 0. Se pide: a) Punto de impacto y coseno del ángulo entre la trayectoria y el vector normal; b) Punto en el que suena la alarma de proximidad al estar a distancia 1 del plano antes del impacto.

Ejercicio B.3 · Modelo 2022

Dados pi1 = x - 2y + 3z = 6, pi2 = 3x - z = 2 y A(1, 7, 1): a) Comprobar que pi1 y pi2 son perpendiculares. b) Calcular el volumen del cubo con caras en pi1 y pi2 y vértice en A. c) Punto simétrico de A respecto de pi1.

Ejercicio A.3 · Ordinaria 2022

Cálculo de vector director y punto de corte con z = 0, proyección ortogonal de P sobre la recta r y ángulo entre recta y plano.

Ejercicio B.3 · Ordinaria 2022

Sean el plano π: x+y+z=1, la recta r1: {x=1+λ, y=1-λ, z=-1} y el punto P(0,1,0). Se pide verificar la pertenencia de r1 y P a π; hallar la recta en π perpendicular a r1 que pasa por P; y calcular la recta r2 paralela a r1 que pasa por P, junto al área del cuadrado con lados en r1 y r2.

Ejercicio A.3 · Ordinaria Coincidencias 2022

Dada la recta r y el punto P(1,1,0), hallar los puntos de r a distancia 1 de P, y las rectas por P perpendiculares a r que forman pi/3 rad con la normal a x=0.

Ejercicio B.3 · Ordinaria Coincidencias 2022

Problema B.3: a) Calcular el ángulo entre u = (0, 0, 1) y v = (0, 1, √3). b) Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por OA, OB y OC con O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0) y C(0,2,2√3). c) Recta perpendicular común a r (pasa por O y C) y s (y - 3 = 0, z = 0).

Ejercicio A.3 · Extraordinaria 2021

Dado el punto A(1, 0, -1), la recta r: x - 1 = y + 1 = (z - 2)/2 y el plano π: x + y - z = 6, se pide: a) Hallar el ángulo entre π y el plano perpendicular a r por A; b) Determinar la distancia entre r y π; c) Calcular una ecuación de la recta que pasa por A, es perpendicular a r y no corta a π.

Ejercicio B.3 · Extraordinaria 2021

Dadas las rectas r: (x-2)/1 = (y+1)/1 = (z+4)/(-3) y s: { x+z=2, -2x+y-2z=1 }: a) obtener la perpendicular común; b) calcular la distancia entre r y s.

Ejercicio A.3 · Modelo 2021

Dados A(3,1,2), B(0,3,4) y P(-1,1,0): a) Hallar Q con PQ = -AB. b) Punto de corte entre las rectas r(A, P) y s(B, C(2,-1,-2)). c) Coseno del ángulo formado por PA y PB.

Ejercicio B.3 · Modelo 2021

Dadas las rectas r: {x + 2z = 1; y + z = 2} y s: {x = -3 + 2λ; y = 2 - λ; z = 1 + λ}, hallar: a) distancia del origen a s, b) posición relativa de r y s, c) ecuación de la recta perpendicular común.

Ejercicio A.3 · Ordinaria 2021

Dada la recta r (intersección de dos planos) y el plano π: a) calcular el ángulo entre r y π; b) hallar el simétrico del punto de intersección de r y π respecto al plano z-y=0; c) determinar la proyección ortogonal de r sobre π.

Ejercicio B.3 · Ordinaria 2021

Sean los planos π_1 ≡ x + y = 1 y π_2 ≡ x + z = 1. a) Halle los planos paralelos al plano π_1 tales que su distancia al origen de coordenadas sea 2. b) Halle la recta que pasa por el punto (0, 2, 0) y es perpendicular al plano π_2. c) Halle la distancia entre los puntos de intersección del plano π_1 con los ejes x e y.

Ejercicio A.3 · Extraordinaria 2020

P(3,3,0) y recta r: (x-2)/(-1) = y/1 = (z+1)/0. Hallar: a) plano por P y r; b) punto simétrico de P respecto de r; c) dos puntos A y B de r para que el triángulo ABP sea rectángulo en A y tenga área 3/sqrt(2).

Ejercicio B.3 · Extraordinaria 2020

Del paralelogramo ABCD con vértices A(1, 0, -1), B(2, 1, 0) y C(4, 3, -2), hallar: a) recta perpendicular a AC y BC que pasa por el punto medio de AC; b) coordenadas de D y área del paralelogramo; c) coseno del ángulo entre AB y AC.

Ejercicio A.3 · Modelo 2020

Posición relativa y distancia entre dos rectas en el espacio r1 y r2, y punto de corte de r2 con el plano que contiene a r1 y pasa por el origen.

Ejercicio B.3 · Modelo 2020

Dados A(1, 1, -2), B(3, -1, 4) y la recta r, calcular el área del triángulo OPQ (P punto medio de AB, Q intersección de r_{AB} con z=7), la ecuación del plano perpendicular a r por A, y el coseno del ángulo entre r y r_{AB}.

Ejercicio A.3 · Ordinaria 2020

Dadas las rectas r: x - y = 2, 3x - z = -1 y s: x = -1 + 2λ, y = -4 - λ, z = λ. a) Posición relativa de r y s. b) Ecuación del plano perpendicular a r que pasa por P(2, -1, 5). c) Ecuación del plano paralelo a r que contiene a s.

Ejercicio B.3 · Ordinaria 2020

Dados P(-3, 1, 2), Q(-1, 0, 1) y el plano π: x + 2y - 3z = 4, hallar la proyección ortogonal de Q sobre π, el plano paralelo a π por P, y el plano perpendicular a π por P y Q.

Ejercicio A.3 · Ordinaria Coincidencias 2020

Comprobar que el triángulo ABC es rectángulo, hallar el plano que contiene a los tres puntos y calcular el punto simétrico de A respecto a la recta BC.

Ejercicio B.3 · Ordinaria Coincidencias 2020

Dadas dos rectas r y s en el espacio: a) Estudiar su posición relativa; b) Calcular la ecuación del plano que contiene a r y a un vector perpendicular a r y a s; c) Encontrar una recta perpendicular común a r y a s.

Opción A - Ejercicio 3 · Extraordinaria 2019

Dados los puntos A(1, 1, 1), B(1, 3, -3) y C(-3, -1, 1): a) Determinar la ecuación del plano que los contiene. b) Obtener un punto D distinto de A, B y C tal que AB, AC y AD sean linealmente dependientes. c) Encontrar un punto P del eje OX de modo que el volumen del tetraedro ABCD sea igual a 1.

Opción B - Ejercicio 3 · Extraordinaria 2019

Dados el plano pi: 2x + 3y - z = 4 y las rectas r y s, calcular: a) El punto simétrico de P(1, 2, 3) respecto de pi; b) La recta perpendicular a pi por el punto de intersección de r y s; c) El ángulo entre r y s.

Opción A - Ejercicio 3 · Modelo 2019

Dados A(1, 2, -3), B(1, 5, 0), C(5, 6, -1) y D(4, -1, 3): a) Hallar la ecuación del plano pi que pasa por A, B, C y la distancia de D a pi. b) Hallar el volumen del tetraedro ABCD. c) Hallar el área del triángulo ABC.

Opción B - Ejercicio 3 · Modelo 2019

Dadas las rectas r: (2+λ, 3+λ, 1-λ) y s: {x-y=2, y+z=1}, determinar su posición relativa, obtener el plano que las contiene y, dado A(3,1,0) de s, hallar B en r tal que AB sea perpendicular a r.

Opción A - Ejercicio 3 · Ordinaria 2019

Dadas las rectas r y s, estudiar su posición relativa, hallar un plano paralelo a r que contenga a s, y hallar un plano perpendicular a r que pase por el origen.

Opción B - Ejercicio 3 · Ordinaria 2019

Cálculo de la distancia de un punto A a un plano π, proyección ortogonal del punto sobre el plano y punto simétrico.

Opción A - Ejercicio 3 · Extraordinaria 2018

Se consideran u = (-1, 2, 3), v = (2, 0, -1) y A(-4, 4, 7). Se pide: a) Determinar un vector w1 ortogonal a u y v, unitario y con tercera coordenada negativa. b) Hallar un vector no nulo w2 combinación lineal de u y v, ortogonal a v. c) Determinar los vértices del paralelogramo cuyos lados tienen las direcciones de u…

Opción B - Ejercicio 3 · Extraordinaria 2018

Dados el punto P(0, -1, 1) y la recta r que pasa por Q(1, 0, 1) con vector director v = (0, 1, 2): a) Hallar la ecuación implícita del plano que contiene a r y pasa por P. b) Encontrar el punto S contenido en r tal que el vector SP sea perpendicular a r. c) Hallar el área del triángulo de vértices P, T1 y T2…

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