Ejercicio A.3 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2022

Tema: Geometría · Del examen Ordinaria Coincidencias (2022)

Enunciado

Sea la recta r≡{x=λy=λ,λ∈Rz=0r \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R} \\ z = 0 \end{cases} y el punto P(1,1,0)P(1, 1, 0).

a)

[1 punto] Halle los puntos pertenecientes a la recta rr que distan de PP una unidad.

b)

[1.5 puntos] Halle unas ecuaciones de las rectas que pasan por PP, son perpendiculares a rr y forman un ángulo π3\dfrac{\pi}{3} radianes con la normal al plano x=0x = 0.

Enunciado: Ejercicio A.3 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Halle los puntos pertenecientes a la recta r que distan de P una unidad.

Solución: (1+22,1+22,0)\left(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right) y (1−22,1−22,0)\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)

b) Halle unas ecuaciones de las rectas que pasan por P, son perpendiculares a r y forman un ángulo π/3 radianes con la normal al plano x = 0.

Solución: {x=1+λy=1−λz=2λ(λ∈R)y{x=1+μy=1−μz=−2μ(μ∈R)\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = \sqrt{2}\lambda \end{cases} (\lambda \in \mathbb{R}) \quad \text{y} \quad \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = -\sqrt{2}\mu \end{cases} (\mu \in \mathbb{R})

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