Ejercicio B.3 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2023

Enunciado

Dados el plano $\pi: x + 3y + 2z + 14 = 0$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 \\ z = 5 \end{cases}$ , se pide:

[0,5 puntos] Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas.

$P($

$,$

$)$

[1 punto] Calcular la proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre el plano $\pi$ .

[1 punto] Hallar la recta con dirección perpendicular a $r$ , que esté contenida en $\pi$ , y que corte al eje $OZ$ .

Enunciado: Ejercicio B.3 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2023

Según los criterios oficiales de corrección

a) Coordenada x del punto de π más próximo al origen

Solución: -1

a) Coordenada y del punto de π más próximo al origen

Solución: -3

a) Coordenada z del punto de π más próximo al origen

Solución: -2

b) Calcular la proyección ortogonal del eje OZ sobre el plano π.

Solución: { x + 3y + 2z = -14 ; 3x - y = 0

c) Hallar la recta con dirección perpendicular a r, que esté contenida en π, y que corte al eje OZ.

Solución: { x = 2λ ; y = 0 ; z = -7 - λ

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