Problema A1 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2025

Part A. Contestau l'únic problema d'aquesta part (total 2.5 pt).

Problema A1. — Un grup d'investigació de l'Escola Politècnica Superior de la UIB va participar el desembre del 2023 en un estudi de les profunditats marines. L'equip va desplegar diverses tecnologies marines avançades amb la finalitat d'explorar i recollir dades d'hàbitats marins a una profunditat de $350\text{ m}$. Per aquest motiu, una embarcació amb l'equip d'investigació es va dirigir cap a unes coordenades marines específiques.

a)

[1 punt] Un cop arribats al punt desitjat de la superfície del mar, diguem-li $O$, varen submergir un dispositiu verticalment $315\text{ m}$ (vegeu la figura). Tot seguit, aquest es va desplaçar $37\text{ m}$ sobre la recta

$$\begin{cases} x = 0, \\ 35y + 12z = -3780, \end{cases}$$

fins assolir la profunditat desitjada. Calcula el punt on es va situar el dispositiu després d'aquest moviment considerant el punt $O$ el centre de referència (l'origen de coordenades).

$($

$,$

$,$

$)$

b)

[0.5 punts] Si volem mantenir la profunditat desitjada ($350\text{ m}$), sobre quin pla s'ha de desplaçar el dispositiu?

c)

[1 punt] Es deixa que el dispositiu es desplaci lliurement sobre el pla calculat a l'apartat b) i es va monitorant des del vaixell. Amb un GPS s'ha detectat, des del vaixell, la presència d'un objecte (possiblement un peix) que es desplaça en línia recta sobre la trajectòria

$$\begin{cases} x = 5 + 4\lambda, \\ y = 10 + \lambda, \\ z = -380 + 10\lambda. \end{cases}$$

Si el dit objecte no canvia la seva trajectòria, podria xocar contra el dispositiu? En cas afirmatiu, a quin punt podria ocórrer la col·lisió?

Sí

No

$($

$,$

$,$

$)$