Ejercicios de Análisis

70 ejercicios de Análisis de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018-2026. Con solución paso a paso.

Pregunta 2 · Extraordinaria 2026

Un rectángulo de 8x2 en el primer cuadrante se divide con la curva y = 2 - x^(1/3). La parte superior es blanca. En la parte inferior se inscribe un rectángulo verde con vértice en (x, y) de la curva, y el resto es rojo. Calcule el área de cada color para que el área roja sea mínima.

Pregunta 5.1 · Extraordinaria 2026

Pregunta 5.1. Sea la función f(x) = x / ln(x). Halle el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos con sus correspondientes valores.

Pregunta 5.2 · Extraordinaria 2026

Pregunta 5.2. Halle el valor real a tal que la integral de 0 a pi/3 de (x - a)*sen(3x) dx sea igual a 2*pi/9.

Pregunta 2 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Dada la función de potencia P(t) en [0, 24), estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, hallar la hora de potencia máxima y calcular la energía total producida mediante integración de P(t).

Pregunta 5.1 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Sea la función f(x) = (x^2 - 1)/(3x - a), donde a es un parámetro real. a) Halle el valor de a para que la gráfica de f(x) presente una asíntota vertical en x = 2. Para dicho valor, estudie el resto de asíntotas de la gráfica. b) Obtenga los valores de a para los cuales la gráfica de la función no presenta asíntotas…

Pregunta 5.2 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Para la función f(x) = sen(π|x^2 - 1|), calcule la integral definida entre 0 y 2 de x*f(x) dx.

Pregunta 2 · Ordinaria 2026

Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m y 56 m con un rectángulo techado en su interior. Hallar las dimensiones que minimizan el coste sabiendo que la parte cubierta cuesta 30 €/m² y la no techada 50 €/m².

Pregunta 5.1 · Ordinaria 2026

Sea f(x) = ln(x). Halle el área de la región acotada por la gráfica de f(x), el eje de abscisas y la recta x = e.

Pregunta 5.2 · Ordinaria 2026

Pregunta 5.2. Dada la función a trozos f(x) = 3x^2 - sen(ax) + b para x < 0, y 2e^x / (1 + x^2) para x >= 0: a) Calcule los valores de a y b para que f sea continua y derivable en x = 0. b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en x = 2.

Pregunta 2 · Ordinaria Coincidencias 2026

Dada la función f(x) = |x^2 - 6x + 5|, hallar sus máximos y mínimos relativos con sus correspondientes valores, y calcular el área delimitada por la gráfica, el eje de abscisas y las rectas x = 3 y x = 6.

Pregunta 5.1 · Ordinaria Coincidencias 2026

Sea la función f(x) = x^2 + bx. a) Determine los valores de b para que la recta y = x - 1 sea tangente a la gráfica de f(x). b) ¿Es cierto que para cualquier valor de b existe una recta tangente a f(x) paralela a y = x - 1? Justifique la respuesta.

Pregunta 5.2 · Ordinaria Coincidencias 2026

Pregunta 5.2. Calcule los siguientes límites: a) lim_{x -> +inf} (sqrt(x^2 + 3x) - x); b) lim_{x -> 0} (e^(3x) - 1) / ln(1 + 2x).

Pregunta 2 · Extraordinaria 2025

Un agricultor dispone de 120 metros de valla para delimitar una parcela pentagonal ABCDE, donde A, B, D y E forman un rectángulo y C está fuera de este formando un triángulo equilátero con B y D. ¿A qué distancia del vértice A debe ubicar los vértices B y E para maximizar el área de la parcela?

Pregunta 2.1 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Dadas las funciones f(x) = e / (e^x - e) y g(x) = 1 / (x - 1): a) Calcular lim_{x -> 1} (f(x) - g(x)). b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de f(x) en su dominio. c) Estudiar las asíntotas de g(x) + g(-x).

Pregunta 2.2 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Dada la parábola f(x) = -x^2 + 4: a) Hallar el área de la región acotada delimitada por y = 0 y f(x). b) Hallar las dimensiones y el área del rectángulo de mayor área apoyado en el eje OX inscrito en la parábola con lados paralelos a los ejes.

Pregunta 2.1 · Modelo 2025

Pregunta 2.1: Sea la función f(x) a trozos (x^2 - 6x + 11 si x < 2; sqrt(5x - 1) si x >= 2). Se pide: a) Estudiar la continuidad en R; b) Estudiar los extremos relativos en (1, 3); c) Calcular el área encerrada por la función y el eje OX entre x = 1 y x = 3.

Pregunta 2.2 · Modelo 2025

Dada f(x) = sen(pi/2 * x), estudiar la paridad de g(x) = f(x * f(x)), calcular lim_{x->0} (sqrt(4+3f(x))-2)/x y calcular int_0^1 x*f(x) dx.

Pregunta 2 · Ordinaria 2025

Estudio de extremos, cálculo de áreas con integrales definidas y aplicación práctica en un muro rectangular de 3 m de alto y 12 m de largo con la función f(x) = cos(pi*x/9) + 2.

Pregunta 2.1 · Ordinaria Coincidencias 2025

Para la función f(x) = √(x² + 3x), determinar dominio y paridad, calcular dos límites en -∞ y hallar la ecuación de la recta tangente en x = 1.

Pregunta 2.2 · Ordinaria Coincidencias 2025

Calcular la primitiva F(x) de la función racional f(x) = (x³ - x²)/(x² + 9) que cumple la condición inicial F(0) = ln 3.

Ejercicio A.2 · Extraordinaria 2024

Proponer ejemplos de funciones polinómicas de grado 2 con tangencia dada o máximo relativo dado, y justificar si pueden tener dos extremos relativos en R.

Ejercicio B.2 · Extraordinaria 2024

Dada la función f(x) = x^3 - 3x: a) Estudiar si es par o impar y calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular el área de la región acotada delimitada por las gráficas de f(x) y de g(x) = x(x - 3).

Ejercicio A.2 · Modelo 2024

Cálculo de un límite y del área en el primer cuadrante comprendida entre la recta y = x y la gráfica de f(x) = x*(x^2 - 1)^(2/3).

Ejercicio B.2 · Modelo 2024

Dada la función real de variable real $f(x) = x - \dfrac{4}{(x-1)^2}$, se pide: a) Hallar el dominio de definición de $f(x)$ y determinar, en el caso de que existan, las ecuaciones de las asíntotas de su gráfica. b) Determinar los extremos relativos de la función, así como sus intervalos de crecimiento y de…

Ejercicio A.2 · Ordinaria 2024

Estudio de una función polinómica: recta tangente, teoremas de Rolle y Bolzano, y cálculo de área.

Ejercicio B.2 · Ordinaria 2024

Cálculo de una integral definida por partes y de un límite con indeterminación 1^∞.

Ejercicio A.2 · Ordinaria Coincidencias 2024

Dada la función f(x) = (x^3 - 1)/(x^2 - 1), se pide: a) Hallar su dominio y estudiar las asíntotas de su gráfica. b) Calcular la recta tangente a la gráfica de f en el punto (2, 7/3). c) Encontrar, si es posible, algún punto x_0 tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x_0, f(x_0)) sea…

Ejercicio B.2 · Ordinaria Coincidencias 2024

Sea f(x) = |x| / (x^2 + 1). a) Analice la monotonía y los extremos relativos de f(x). b) Halle el área de la región acotada delimitada por la recta y = 1/2 y la gráfica de f(x).

Ejercicio A.2 · Extraordinaria 2023

Optimización del gasto de combustible c(v) a trozos: hallar velocidad de consumo mínimo para v > 3 y extremos absolutos en [1, 8].

Ejercicio B.2 · Extraordinaria 2023

Estudiar la derivabilidad de h(x) = |f(x)| con f(x) = 2 + 2x - 2x^2 y calcular el área comprendida entre f(x) y g(x) = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3 en el intervalo [0, 2].

Ejercicio A.2 · Modelo 2023

Estudiar la continuidad en R y asíntotas de f(x) definida a trozos; para g(x) = (e^x - e)f(x), calcular g'(0); y calcular la integral definida de 1 a 5 de sqrt(f(x)) dx.

Ejercicio B.2 · Modelo 2023

Problema de optimización para hallar las dimensiones de una parcela rectangular y maximizar el área de cultivo interior.

Ejercicio A.2 · Ordinaria 2023

Dada la función f(x) = ∛((x² - 1)²), se pide: a) Estudiar si es par o impar. b) Estudiar su derivabilidad en el punto x = 1. c) Estudiar sus extremos relativos y absolutos.

Ejercicio B.2 · Ordinaria 2023

Estudio de continuidad, cálculo de un límite con indeterminación del tipo 1^inf y una integral definida de una función racional.

Ejercicio A.2 · Ordinaria Coincidencias 2023

Dada la función f(x) = x³ + x² + x, hallar la ecuación de la recta tangente de pendiente mínima y el área de la región encerrada entre f(x) e y = x.

Ejercicio B.2 · Ordinaria Coincidencias 2023

Dada f(x) = |x^2 - x - 2| / (x^2 + 2x + 1), hallar sus asíntotas verticales y horizontales, estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular extremos relativos.

Ejercicio A.2 · Extraordinaria 2022

Dada una función a trozos f(x), estudiar su continuidad en R, su derivabilidad en x = 0, calcular sus asíntotas horizontales y verticales, y determinar el punto con tangente nula para x > 0, la recta tangente y clasificar el extremo relativo.

Ejercicio B.2 · Extraordinaria 2022

Función a trozos f(x) = x si x <= 0 y x*ln(x) si x > 0. a) Estudiar continuidad y derivabilidad en x=0. b) Intervalos de monotonía y extremos relativos. c) Integral definida entre 1 y 2 de f(x) dx.

Ejercicio A.2 · Modelo 2022

Dada la función a trozos f(x) = 1 - (sen x)/x para x < 0 y f(x) = x e^(4-x^2) para x >= 0: a) Estudiar la continuidad y la derivabilidad en x = 0. b) Determinar los extremos relativos de f(x) en (0, infinito). c) Calcular la integral de 0 a 2 de f(x) dx.

Ejercicio B.2 · Modelo 2022

Dada f(x) = x + x^2: a) Hallar el área de la región acotada entre la gráfica de f y la recta y = 2x. b) Recta tangente en (1, f(1)) y hallar en qué punto choca con x = 2.

Ejercicio A.2 · Ordinaria 2022

Estudio de continuidad y derivabilidad en 0, simetría y cálculo de la integral de f(x)/x^6 entre 1 y 2 para f(x) = x^3 e^(-1/x^2).

Ejercicio B.2 · Ordinaria 2022

Sea la función f(x) = x / (x^2 + 1). a) Compruebe si verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en [-1, 1]. b) Calcule y clasifique los extremos relativos de f(x) en R. c) Determine el área comprendida entre la gráfica de f(x) y el eje OX en [-1, 1].

Ejercicio A.2 · Ordinaria Coincidencias 2022

Para f(x) = 1 + 1/x, determinar su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y hallar el área acotada entre f(x) y g(x) = (5-x)/2.

Ejercicio B.2 · Ordinaria Coincidencias 2022

Dada f continua y derivable con f(1)=2, f(2)=1, f'(1)=1, f'(2)=2, hallar g(2) y g'(2) con g(x)=(f(x))^2, la recta tangente a h(x)=(f o f)(x) en x=1, y probar por el TVM que existe c en (1,2) con f'(c)=-1.

Ejercicio A.2 · Extraordinaria 2021

Calcule los siguientes límites e integrales: a.1) límite cuando x tiende a 0 de x^2(1-2x)/(x-2x^2-sen x); a.2) límite cuando x tiende a infinito de (1/x)*(3/x - 2/sen(1/x)); b.1) integral indefinida de x/(x^2-1) dx; b.2) integral definida de 0 a 1 de x^2*e^(-x) dx.

Ejercicio B.2 · Extraordinaria 2021

Para f(x) = x³ - |x| + 2: a) estudiar la continuidad y derivabilidad en x = 0; b) determinar los extremos relativos en ℝ; c) calcular el área encerrada entre la curva, y=0, x=-1 y x=1.

Ejercicio A.2 · Modelo 2021

Estudiar la continuidad de f(x) definida a trozos, hallar sus asíntotas y determinar el punto x0 < 1 con pendiente de recta tangente -1/2 y la ecuación de dicha recta.

Ejercicio B.2 · Modelo 2021

Dada f(x) = x^6 - 4x^4: a) estudiar intervalos de crecimiento y decrecimiento; b) extremos locales y globales; c) área de la región acotada por y = 0 y la gráfica de f.

Ejercicio A.2 · Ordinaria 2021

Calcular el área de la región delimitada por las gráficas de f(x)=2+x-x² y g(x)=2x²-4x.

Ejercicio B.2 · Ordinaria 2021

Estudio de continuidad y derivabilidad en x = 0 de f(x) a trozos; monotonía en (-π, 2) y aplicación del teorema de Bolzano; cálculo de la integral definida de -π/2 a 1.

Ejercicio A.2 · Extraordinaria 2020

Dada una función a trozos f(x), calcular: a) f(0) y (f o f)(0); b) continuidad, derivabilidad y extremo en x = 1; c) asíntotas.

Ejercicio B.2 · Extraordinaria 2020

La potencia de una pila es P(t) = 25·t·e^(-t²/4) con t > 0. Se pide: a) calcular hacia qué valor tiende la potencia cuando t tiende a infinito; b) determinar el instante t en el que se alcanza la potencia máxima y el valor de dicha potencia máxima; c) calcular la energía producida entre t = 0 y t = 2 mediante la…

Ejercicio A.2 · Modelo 2020

Estudio de f(x) = e^(3x-2): recta tangente con pendiente 3/e, límite indeterminado en x=2/3 y área acotada por y=f(x), x=0 e y=1.

Ejercicio B.2 · Modelo 2020

Dada la función f(x) = 3/(x+1), se pide: a) Calcular el área del triángulo formado por los ejes y la recta tangente en x = 2; b) Determinar las asíntotas y estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento; c) Calcular la integral de 0 a 2 de x*f(x) dx.

Ejercicio A.2 · Ordinaria 2020

Dadas f(x) = x³ + 3x² - 1 y g(x) = 6x: a) Justificar con un teorema que existe c en [1, 10] con f(c) = g(c). b) Calcular la ecuación de la recta tangente a y = f(x) con pendiente mínima. c) Calcular la integral de 1 a 2 de f(x)/g(x) dx.

Ejercicio B.2 · Ordinaria 2020

Estudio de continuidad, derivabilidad y crecimiento de una función a trozos en [-4, 4], y análisis de la continuidad y derivabilidad de g(x) = f'(x) en x = 1.

Ejercicio A.2 · Ordinaria Coincidencias 2020

Dada la función f(x) = 1/2 - sen(x) + x*cos(x), estudiar su crecimiento en [0, pi/2], justificar con el teorema adecuado que se anula en algún punto de ese intervalo y que dicho punto es único, y calcular la integral definida de 0 a pi/2 de f(x) dx.

Ejercicio B.2 · Ordinaria Coincidencias 2020

Disponemos de 10 m de barra para construir un rectángulo rematado por un triángulo equilátero (6 trozos en total: 4 de longitud x y 2 de longitud y). a) Calcular la altura del triángulo equilátero en función de x. b) Determinar las longitudes en las que cortar la barra para maximizar el área total.

Opción A - Ejercicio 2 · Extraordinaria 2019

a) Con f(1)=1, f'(1)=2, g(1)=3, g'(1)=4, calcular h'(0) para h(x)=f((x+1)^2) y k'(1) para k(x)=f(x)/g(x). b) Calcular la integral de (sen x)^4 (cos x)^3 dx.

Opción B - Ejercicio 2 · Extraordinaria 2019

Un brote de una enfermedad tiene una tasa de afectados dada por F'(t) = t^2(10 - t). Se pide: a) hallar F(t) sabiendo que F(0) = 6; b) calcular cuántos días pasan hasta el máximo de enfermos y cuál es dicho número; c) estimar con el teorema de Bolzano cuántos días dura el brote.

Opción A - Ejercicio 2 · Modelo 2019

Estudiar la función c(t) = 80 - 6t + 23t^2/20 - t^3/30 en [0, 30]: a) Evaluar en t=9.5. b) Hallar el momento y valor del máximo absoluto. c) Calcular el promedio mediante la integral de 0 a 30 dividida por 30.

Opción B - Ejercicio 2 · Modelo 2019

A partir de la gráfica de f, determinar f'(-1) y tres límites. Luego calcular la integral definida de g(x) entre -3 y pi.

Opción A - Ejercicio 2 · Ordinaria 2019

Dada la función f(x) = ln(x)/x definida para x > 0, se pide calcular una asíntota horizontal, encontrar el punto donde la recta tangente es horizontal analizando si es extremo relativo, y calcular el área del recinto limitado por y = f(x), y = 0 y x = e.

Opción B - Ejercicio 2 · Ordinaria 2019

Estudio del dominio, monotonía y límites laterales en el origen de la función f(x) = √(4x² - x⁴).

Opción A - Ejercicio 2 · Extraordinaria 2018

Se considera la función f(x) a trozos con 8e^(2x-4) si x <= 2 y (x^3-4x)/(x-2) si x > 2. a) Estudiar la continuidad en x = 2. b) Calcular las asíntotas horizontales y determinar si hay asíntotas verticales. c) Calcular la integral de 0 a 2 de f(x) dx.

Otros temas de Matemáticas II

Álgebra · 66 problemas · 95 % de que salga
Geometría · 67 problemas · 95 % de que salga
Probabilidad · 64 problemas · 95 % de que salga