Ejercicios de Álgebra

66 ejercicios de Álgebra de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Madrid (PAU/EvAU) 2018-2026. Con solución paso a paso y corrección al momento.

Pregunta 3 · Extraordinaria 2026

Dadas las matrices A, B y C, resuelva la ecuación matricial AX + X = B.

Pregunta 3 - b1) · Extraordinaria 2026

Pregunta 3. b1) Calcule el determinante de la matriz (2C)^100 aplicando propiedades de los determinantes, siendo C una matriz triangular de orden 3 con unos en la diagonal.

Pregunta 3 - b2) · Extraordinaria 2026

Dadas las matrices A (3x3) y B (3x2), justifique si las matrices A y AB son invertibles.

Pregunta 3 · Extraordinaria Coincidencias 2026

Propiedades algebraicas del conjunto S de matrices 2x2 de la forma ((a, b), (0, a+b)): a) Probar que si A, B están en S, AB está en S. b) Responder a uno de los dos: b1) Determinar para qué valores de a y b son invertibles y probar que la inversa también pertenece a S; b2) Calcular todas las matrices A en S tales que…

Pregunta 1 · Ordinaria 2026

Dada la matriz A en función de lambda: a) Discutir el rango de A según lambda. b) Para lambda=2, resolver A^2 - AX = I.

Pregunta 1 · Ordinaria Coincidencias 2026

Planteamiento y resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para determinar el número de touchdowns, field goals y extra points anotados por un equipo de fútbol americano de la NFL.

Pregunta 1.1 · Extraordinaria 2025

Sea el sistema matricial dado dependiente de k. a) Discutir el sistema según los valores de k. b) Resolver el sistema para k = 0.

Pregunta 1.2 · Extraordinaria 2025

Dada la matriz A = [[1, 5], [-1, -3]], se pide: a) Hallar las matrices simétricas B que verifiquen BA = (A + A^2)B. b) Hallar A_2025 para la recurrencia A_1 = A, A_{n+1} = A_n^2 + A_n.

Pregunta 1.1 · Extraordinaria Coincidencias 2025

En una granja con conejos, gallinas y pavos, el coste diario por animal es de 1,50 € por conejo, 0,04 € por gallina y 0,30 € por pavo, sumando un total diario de 44 €. El número de gallinas es igual a cuatro veces el de pavos más la cuarta parte del de conejos. Además, el doble de las gallinas es igual a conejos más…

Pregunta 1.2 · Extraordinaria Coincidencias 2025

Dadas las matrices reales A y B de orden 3 con parámetro a: a) Estudiar para qué valores de a la matriz AB tiene rango 3. b) Calcular la inversa de B para los valores de a en los que sea posible.

Pregunta 1.1 · Modelo 2025

Dadas las matrices A y B dependientes de λ: a) Estudiar si existe algún valor de λ para el cual la matriz AB no tenga inversa. b) Estudiar el rango de la matriz BA en función del parámetro λ. c) Para λ = 1, discutir el sistema (A^t A) (x, y, z)^t = (a^2, a^2, 2a)^t según los valores de a.

Pregunta 1.2 · Modelo 2025

Se tienen garrafas de tres tamaños diferentes para llenar un aljibe. Con seis garrafas pequeñas y 2 L se llenan exactamente una garrafa mediana y una grande. Con dos garrafas grandes llenamos dos medianas, una pequeña y sobra 1 L. El aljibe se llena al completo bien con catorce garrafas pequeñas más seis medianas,…

Pregunta 1.1 · Ordinaria 2025

En el baloncesto existen canastas de uno, dos y tres puntos. Calcular el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos realizados por un equipo, sabiendo que anotó 80 puntos con acierto del 80% en tiros de uno, 50% en tiros de dos y 40% en tiros de tres; que la tercera parte de los lanzamientos de dos…

Pregunta 1.2 · Ordinaria 2025

Pregunta 1.2: Dada la matriz 3x3 A, calcular el polinomio característico P(λ) = det(A - λI), hallar sus raíces reales y calcular un vector propio no nulo para λ = 5.

Pregunta 1.1 · Ordinaria Coincidencias 2025

Discutir según los valores del parámetro real λ el sistema de ecuaciones dado y resolverlo para λ = 2.

Pregunta 1.2 · Ordinaria Coincidencias 2025

Calcular matrices diagonales D tales que DA sea estocástica para una matriz dada A, y analizar si existe D distinta de la identidad tal que BD sea estocástica siendo B estocástica.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2024

Discutir el sistema dependiente de λ en función de sus valores y resolverlo para λ = 1 encontrando una solución con x = 5.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2024

Problema sobre propiedades de determinantes y álgebra lineal: a) Probar que si det(A + B) = det A + det B, entonces det((A + B)²) = det(A²) + det(B²) + 2 det(AB). b) Dadas dos matrices C y D de orden 3 dependientes de α, determinar el valor de α para el que det(C + D) = det C + det D. c) Para α = -1, resolver el…

Ejercicio A.1 · Modelo 2024

Planteamiento y resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas para determinar el número de miembros de la orquesta, de los dos coros de adultos, del coro infantil y el total de intérpretes.

Ejercicio B.1 · Modelo 2024

Consideremos las matrices reales A = ((m, 1, 1), (0, m, 3)) y B = ((1, m), (0, m), (0, 1)). Se pide: a) Estudiar si existe algún valor de m para el cual la matriz BA tiene inversa. b) Estudiar el rango de la matriz AB en función del parámetro m. c) Para m = 1, discutir el sistema (A^t A)(x, y, z)^t = (a, a, a^2)^t…

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2024

Calcular la longitud de tres tipos de listones (largos, intermedios y cortos) a partir de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2024

Ecuación matricial con inversa, determinante de producto de matrices y resolución de sistema lineal.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2024

Problema de planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales para calcular las dimensiones de una pila de cajas con forma de ortoedro y el número total de cajas.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2024

Sean X e Y dos matrices reales y cuadradas de orden dos tales que 5X - 3Y = A y 3X + 6Y = B, con A = ((0, -1), (1, 0)) y B = ((39, 2), (-15, 13)). Se pide: a) Hallar X, Y y X^-1. b) Calcular A^127.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2023

Dadas las matrices A y B, calcular el determinante de A^t A, el rango de BA en función de b, B^(-1) para b=2 y B^5 para b=1.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2023

Discusión y resolución de un sistema de 3 ecuaciones lineales con parámetro k en función de sus valores, resolución para k = 3 y solución general y particular (x = 2) para k = 3/2.

Ejercicio A.1 · Modelo 2023

En la liga compiten 20 equipos de 25 jugadores (3 porteros por equipo). Un tercio de defensas equivale a centrocampistas menos delanteros. La mitad de centrocampistas más el doble de delanteros excede en 25 al número de defensas. Calcular el número total de defensas, centrocampistas y delanteros en la liga.

Ejercicio B.1 · Modelo 2023

Operaciones con matrices, existencia de inversa y ecuaciones matriciales.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2023

Planteamiento y resolución de un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas para determinar la cantidad de tierra transportada por camiones de tipos A, B y C.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2023

Discutir según el parámetro a y resolver para a = 3 y a = 5 el sistema de ecuaciones lineales formado por (a+1)x + 4y = 0, (a-1)y + z = 3 y 4x + 2ay + z = 3.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2023

Dada la matriz A en función del parámetro a, estudiar su rango en función de a, calcular su inversa para a = 0 y resolver el sistema homogéneo A X = 0 para a = 1.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2023

Un quebrantahuesos necesita 500 g de alimento al día y 2500 Kcal. Las grasas dan 9 Kcal/g, los carbohidratos 4 Kcal/g y las proteínas 4 Kcal/g. Los carbohidratos deben ser 40 g más del doble de proteínas. Determinar las kilocalorías diarias obtenidas de grasas, carbohidratos y proteínas.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2022

Calcule el número de ensayos, novelas y biografías que hay en una estantería sabiendo las relaciones de proporción, excedencia y el total tras retirar ciertas fracciones.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2022

Problema B.1 de matrices: cálculo de AB y valores del parámetro k para los que existe inversa, cálculo de la matriz inversa (AB)^(-1) para k=1, cálculo de BA y discusión de su rango en función de k, y escritura de un sistema incompatible de tres ecuaciones con matriz de coeficientes BA para k=1.

Ejercicio A.1 · Modelo 2022

En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. El 60% cursa inglés. Si 10 alumnos de francés fuesen a alemán, ambos tendrían igual número. La cuarta parte de inglés excede en 8 al doble de la diferencia entre francés y alemán. Calcular el número de alumnos de cada idioma.

Ejercicio B.1 · Modelo 2022

Sean las matrices A = ((0, 1, a), (1, 0, a), (a, 1, 0)) y B = ((3), (-1), (-2)). Se pide: a) Calcular los valores de a para los que la matriz A no tiene inversa. b) Para a = 1, calcular la inversa de la matriz A. c) Para a = 2, resolver el sistema A * (x, y, z)^t = B.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2022

Dado un sistema de ecuaciones lineales dependiente de m: a) Discuta el sistema en función de m. b) Resuelva el sistema para m = 1/2.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2022

Problema verbal resuelto mediante un sistema de ecuaciones lineales de tres incógnitas: cálculo de edades de tres primos (Pablo, Alejandro y Alicia) y reparto directamente proporcional de un premio de 9450 euros.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2022

Discutir en función de m y resolver para m = 1 el sistema: 2x + y - z = 0; mx + (m+1)y - z = m-1; -x - 2y + (2m-1)z = 1-m.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2022

Dadas las matrices A (2x2), B (2x3) y C (3x2), hallar 'a' para que el sistema C(x y)^t = (1 1 1)^t sea compatible, y hallar a, b, c tales que el producto de dos de ellas sea igual a la restante.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2021

Tres amigas, Sara, Cristina y Jimena, tienen un total de 15000 seguidores en una red social. Si Jimena perdiera el 25% de sus seguidores todavía tendría el triple de seguidores que Sara. Además, la mitad de los seguidores de Sara más la quinta parte de los de Cristina suponen la cuarta parte de los de Jimena. Calcule…

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2021

Construcción y justificación de tres sistemas de ecuaciones lineales: a) de 2 ecuaciones con soluciones {x=1, y=2} y {x=0, y=0}; b) de 2 ecuaciones en x, y, z con soluciones x=λ, y=λ-2, z=λ-1; c) de 3 ecuaciones con incógnitas x, y que solo tenga como solución x=1, y=2.

Ejercicio A.1 · Modelo 2021

Dadas las matrices A y B con un parámetro x, determinar los valores de x para los que A tiene inversa, calcular la inversa de A para x = -1, y calcular (A B^t)^2020 para x = 1.

Ejercicio B.1 · Modelo 2021

Dados A y B, hallar el valor de a para que: a) B^t (A + A^t) B = 6; b) AX = B no tenga solución; c) A = A^(-1).

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2021

Reparto equitativo de 540 acciones valoradas en 1560 euros entre tres empresas A, B y C según las relaciones dadas entre precios y cantidades; hallar el número de acciones de cada empresa.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2021

Discutir según los valores de a el sistema de ecuaciones: ax - 2y + (a-1)z = 4; -2x + 3y - 6z = 2; -ax + y - 6z = 6. Resolver para a = 1.

Ejercicio A.1 · Extraordinaria 2020

Sea A una matriz 3x4 con dos primeras filas (1,1,1,1) y (1,2,3,4), sin ningún cero en la tercera fila. Proponer un ejemplo justificado de matriz A para: a) Fila 3 combinación lineal de las dos primeras; b) Tres filas linealmente independientes; c) A ampliada de un SCD; d) A ampliada de un SCI; e) A ampliada de un SI.

Ejercicio B.1 · Extraordinaria 2020

Sean las matrices A (3x3), I (3x3) y B (3x2). a) Calcular, si es posible, la inversa de A. b) Calcular la matriz C = A^2 - 2I. c) Calcular el determinante de la matriz D = A B B^t.

Ejercicio A.1 · Modelo 2020

Problema de mezclas y porcentajes: determinar volúmenes de gases necesarios para 2000 L y resolver el sistema de ecuaciones para las tres mezclas A, B y C.

Ejercicio B.1 · Modelo 2020

Dadas las matrices A (3x2), X (2x1) y B (3x1) dependientes de t, calcular el rango de A en función de t y resolver AX = B cuando sea compatible determinado.

Ejercicio A.1 · Ordinaria 2020

Discutir y resolver el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a: x + ay + z = a + 1, -ax + y - z = 2a, -y + z = a. a) Discutir según los valores de a. b) Resolver para a = 0.

Ejercicio B.1 · Ordinaria 2020

Planteamiento y resolución de un sistema de ecuaciones lineales para calcular el precio del kilo de dorada, lubina y rodaballo.

Ejercicio A.1 · Ordinaria Coincidencias 2020

Discutir el sistema de ecuaciones lineales en función de k y resolver para k = -3.

Ejercicio B.1 · Ordinaria Coincidencias 2020

Dadas las matrices B, C y A tal que AB = BC: a) Calcular det(A); b) Calcular BCB^(-1); c) Encontrar (x, y, z) tal que BC(x, y, z)^t = (1, 2, 3)^t.

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2019

Dado el sistema de ecuaciones lineales con parámetro k: kx + (k+1)y + z = 0 -x + ky - z = 0 (k-1)x - y = -(k+1) a) Discutir el sistema según los valores del parámetro real k. b) Resolver el sistema para k = -1.

Opción B - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2019

Dadas las matrices A e I dependientes de un parámetro real a, resolver la ecuación matricial A^2 - I = 2A, determinar para qué valores de a existe la matriz inversa A^-1 y calcularla, y calcular el determinante |(A A^t)^2| en función de a.

Opción A - Ejercicio 1 · Modelo 2019

Para cada uno de los apartados, proponer un ejemplo de matriz 3x3 con números distintos de cero y filas/columnas diferentes tal que: a) det(A)=0, b) det(A)=1, c) A=A^t, d) AC=CA para alguna matriz C no nula ni identidad.

Opción B - Ejercicio 1 · Modelo 2019

Discutir el sistema de ecuaciones dependiente del parámetro m y resolverlo para m = 6.

Opción A - Ejercicio 1 · Ordinaria 2019

Dadas las matrices A (3x4 con parámetro a) y M (4x3), estudiar el rango de A en función de a, y calcular la inversa de AM para a = 0.

Opción B - Ejercicio 1 · Ordinaria 2019

Una estudiante pidió 3 bocadillos, 2 refrescos y 2 bolsas de patatas y pagó 19 euros. Le cobraron 1 bocadillo y 1 bolsa de patatas de más, y al reclamar le devolvieron 4 euros. Además, le ofrecieron 1 bocadillo y 1 refresco por 3 euros (40 % de descuento respecto al precio original). Determinar los precios sin…

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2018

Dadas las matrices A(3x3 con parámetro α), X=(x,y,z)^t y B=(2, 37/2, 11)^t: a) Discutir el rango de A en función de α. b) Para α = 0, calcular A^(-1). c) Resolver AX = B para α = 1.

Opción B - Ejercicio 1 · Extraordinaria 2018

Un grupo de estudiantes viaja por Francia, Alemania y Suiza con distintos costes diarios en hoteles y comidas, más un coste diario de transporte. Sabiendo que el gasto total fue de 765 €, la duración total de 15 días y que estuvieron en Francia el doble de días que en Suiza, calcular los días de estancia en cada país.

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