Pregunta 4. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Extraordinaria 2026

Para estudiar la cobertura de comunicaciones en una zona montañosa se utilizan tres antenas situadas en los puntos $A(1, 2, 1)$, $B(3, 0, 2)$, $C(2, 3, 3)$ que determinan el plano del terreno en dicha zona. Un dron de mantenimiento se desplaza siguiendo la trayectoria rectilínea,$$r: (x, y, z) = (0, 1, 4) + t(1, 1, -1), \quad t \in \mathbb{R}.$$

Dado el plano $\pi \equiv 2x + 2y + z = 5$:

a)

[0,75 puntos] Encuentra la ecuación de un plano paralelo a $\pi$ cuya distancia al origen sea 2. ¿Existe más de un plano que cumpla estas condiciones?

Sí

No

b)

[1 punto] Calcula el punto $P$ del plano $\pi$ que está más próximo al origen $O$.

$P($

,

,

$)$

c)

[0,75 puntos] Calcula el área del paralelogramo formado por los segmentos $OP$ y $OQ$ donde $Q(3, 3, 3)$.