Ejercicio A.3 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2023

a) (0.5 puntos) Compruebe que son paralelos los planos π1 y π2, y que son paralelos los planos π3 y π4.

Solución: Son paralelos porque sus vectores normales son proporcionales: $n_1 = (1, -1, 0)$ y $n_2 = (0, 0, 1)$, con $\pi_1 \neq \pi_2$ y $\pi_3 \neq \pi_4$.

b) (0.5 puntos) Compruebe que los planos π1 y π2 son perpendiculares a los planos π3 y π4.

Solución: $n_1 \cdot n_2 = (1, -1, 0) \cdot (0, 0, 1) = 0$

c) (0.5 puntos) Halle una recta que sea paralela a los cuatro planos y pase por el punto (1, 0, 2).

Solución: $y = x - 1$, $z = 2$ / $(x, y, z) = (1, 0, 2) + \lambda(1, 1, 0)$

d) (1 punto) Halle dos planos perpendiculares a π1, π2, π3 y π4, que cumplan que el volumen del paralelepípedo comprendido entre los seis planos sea 1.

Solución: $x + y = 0$ y $x + y = 1$ (o cualquier par $x + y = D_1$, $x + y = D_2$ con $|D_1 - D_2| = 1$)