Ejercicio B.3 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Tema: Geometría · Del examen Extraordinaria (2022)

Enunciado

Sean las rectasr≡{x+y+2=0y−2z+1=0ys≡{x=2−2ty=5+2t,t∈Rz=tr \equiv \begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ y - 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = 2 - 2t \\ y = 5 + 2t, & t \in \mathbb{R} \\ z = t \end{cases}

a)

Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas.

b)

Determine una ecuación del plano π\pi que contiene a las rectas rr y ss.

c)

Sean PP y QQ los puntos de las rectas rr y ss, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación z=0z = 0. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos PP y QQ.

Enunciado: Ejercicio B.3 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudie la posición relativa de las rectas dadas.

Solución: Paralelas

a) Calcule la distancia entre ellas.

Solución: 41\sqrt{41}

b) Determine una ecuación del plano π\pi que contiene a las rectas r y s.

Solución: 2x−y+6z+1=02x - y + 6z + 1 = 0

c) Sean P y Q los puntos de las rectas r y s, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación z = 0. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q.

Solución: (x,y,z)=(2+3t,5+6t,0)(x, y, z) = (2 + 3t, 5 + 6t, 0) con t∈Rt \in \mathbb{R}

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