Pregunta 3.2 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2025

Tema: Geometría · Del examen Modelo (2025)

Enunciado

Dados los tres planos π1:−2x−2y+z=0\pi_1: -2x - 2y + z = 0; π2:−2x+y−2z=0\pi_2: -2x + y - 2z = 0 y π3:x−2y−2z=0\pi_3: x - 2y - 2z = 0, se pide:

a)

[1 punto] Determinar el ángulo que forman los planos dos a dos. Determinar la intersección de los tres planos.

(( ,, ,, ))

b)

[1,5 puntos] Determinar el punto PP en el espacio del que se sabe que su proyección ortogonal sobre π1\pi_1 es el punto Q1(1/3,4/3,10/3)Q_1(1/3, 4/3, 10/3) y que su proyección ortogonal sobre π2\pi_2 es el punto Q2(−1/3,8/3,5/3)Q_2(-1/3, 8/3, 5/3). Determinar la proyección ortogonal Q3Q_3 del punto PP sobre el plano π3\pi_3.

(( ,, ,, ))

(( ,, ,, ))

Enunciado: Pregunta 3.2 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Determinar el ángulo que forman los planos dos a dos.

Solución: 90° / π/2 rad / perpendiculares

Determinar la intersección de los tres planos.

Solución: (0, 0, 0)

Determinar el punto P en el espacio del que se sabe que su proyección ortogonal sobre π₁ es Q₁(1/3, 4/3, 10/3) y sobre π₂ es Q₂(-1/3, 8/3, 5/3).

Solución: (1, 2, 3)

Determinar la proyección ortogonal Q₃ del punto P sobre el plano π₃.

Solución: (2, 0, 1)

Coordenadas del punto P(x,y,z)P(x, y, z):

Solución: 1

Coordenadas del punto P(x,y,z)P(x, y, z):

Solución: 2

Coordenadas del punto P(x,y,z)P(x, y, z):

Solución: 3

Coordenadas del punto Q3(x,y,z)Q_3(x, y, z):

Solución: 2

Coordenadas del punto Q3(x,y,z)Q_3(x, y, z):

Solución: 0

Coordenadas del punto Q3(x,y,z)Q_3(x, y, z):

Solución: 1

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