Ejercicio 3 - Apartado 3.1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Tema: Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos · Del examen Extraordinaria solapamiento (2026)

Enunciado

3.1 Dados los puntos A(1,−2,1)A(1,-2,1) y B(3,4,3)B(3,4,3), y la recta r≡x2=y−2−1=z−1r \equiv \frac{x}{2}=\frac{y-2}{-1}=z-1, se pide:

3.1.1

(1 punto) La ecuación del plano π1\pi_1 respecto al cual AA y BB son puntos simétricos.

3.1.2

(0.5 puntos) Comprobar que la recta rr está contenida en el plano π1\pi_1.

3.1.3

(1 punto) La ecuación del plano π2\pi_2 que contiene al punto AA y tal que su intersección con π1\pi_1 es la recta rr.

Enunciado: Ejercicio 3 - Apartado 3.1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

3.1.1 La ecuación del plano π1\pi_1 respecto al cual AA y BB son puntos simétricos.

Solución: π1:x+3y+z−7=0\pi_1: x+3y+z-7=0

3.1.2 Comprobar que la recta rr está contenida en el plano π1\pi_1.

Solución: Como Pr=(0,2,1)∈π1P_r=(0,2,1)\in\pi_1 y vr⋅nπ1=0v_r\cdot n_{\pi_1}=0, donde vr=(2,−1,1)v_r=(2,-1,1) y nπ1=(1,3,1)n_{\pi_1}=(1,3,1), tenemos que rr está contenida en π1\pi_1.

3.1.3 La ecuación del plano π2\pi_2 que contiene al punto AA y tal que su intersección con π1\pi_1 es la recta rr.

Solución: π2:4x+y−7z+5=0\pi_2: 4x+y-7z+5=0

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