Pregunta 3 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2025

Sara está revisando una estructura de vigas metálicas. Para ello, utiliza un programa de cálculo estructural que lleva integrado un módulo de diseño asistido por ordenador. El programa trata las vigas como segmentos entre dos puntos. Cuando dos segmentos comparten algún punto, se fijan simulando una soldadura. Para introducir un segmento basta indicar las coordenadas de los extremos del mismo.

Sara se ha dado cuenta de que una parte de la estructura no es lo suficientemente resistente. En concreto, ha encontrado dos vigas, no soldadas entre sí, que deben reforzarse, por lo que decide añadir otra viga que, soldándola a ambas, solucione el problema. Las dos vigas en cuestión son $V_1$ cuyos extremos son los puntos $A(1,2,-3)$ y $B(1,6,1)$ y $V_2$ cuyos extremos son los puntos $C(-2,-8,7)$ y $D(10,-4,7)$.

a)

Como primera solución, Sara decide que la viga añadida esté soldada a los puntos medios de $V_1$ y $V_2$. Calcule las coordenadas de los extremos de la viga añadida y los cosenos de los ángulos que forman dicha viga con $V_1$ y con $V_2$.

b)

Haciendo un análisis más detallado, Sara encuentra que la resistencia es mayor si la viga añadida es perpendicular tanto a $V_1$ como a $V_2$. Calcule, en el caso de que sea posible, las coordenadas de los extremos de la viga añadida si se adopta esta solución.