Pregunta 1.1 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2025

Sea $\lambda$ un número real y considérense las matrices $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix}$. Se pide:

a)

[0,5 puntos] Estudiar si existe algún valor de $\lambda$ para el cual la matriz $AB$ no tenga inversa.

b)

[1 punto] Estudiar el rango de la matriz $BA$ en función del parámetro $\lambda$.

c)

[1 punto] Para $\lambda = 1$, discutir el sistema $\left(A^t A\right) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2a \end{pmatrix}$ según los valores de $a$.