Ejercicio B.1 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Tema: Álgebra · Del examen Extraordinaria (2022)

Enunciado

Se consideran las matrices realesA=(1−1kk1−1),B=(111−110)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & k \\ k & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

a)

[1 punto] Calcule para qué valores del parámetro kk tiene inversa la matriz ABAB. Calcule la matriz inversa de ABAB para k=1k = 1.

(a11a12a21a22)=(\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = (

))

b)

[1 punto] Calcule BABA y discuta su rango en función del valor del parámetro real kk.

c)

[0,5 puntos] En el caso k=1k = 1, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea BABA.

Enunciado: Ejercicio B.1 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcule para qué valores del parámetro k tiene inversa la matriz AB.

Solución: k≠0k \neq 0 y k≠3k \neq 3

a) Matriz (AB)−1(AB)^{-1} para k=1k = 1 (fila 1, columna 1):

Solución: 0

a) Matriz (AB)−1(AB)^{-1} para k=1k = 1 (fila 1, columna 2):

Solución: 1

a) Matriz (AB)−1(AB)^{-1} para k=1k = 1 (fila 2, columna 1):

Solución: 1/2 / 0.5

a) Matriz (AB)−1(AB)^{-1} para k=1k = 1 (fila 2, columna 2):

Solución: -1/2 / -0.5

b) Calcule BA y discuta su rango en función del valor del parámetro real k.

Solución: Rango 2 para todo k

c) En el caso k = 1, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea BA.

Solución: 2x = 1; -2y + 2z = -1; x - y + z = 1

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