Pregunta 3 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2026

Enunciado

Pregunta 3.

$A = \begin{pmatrix} a & a-1 & a^2-a \\ a & 1 & a \\ a & 1 & a-1 \end{pmatrix}$

[1,5 puntos] Estudia el rango de la siguiente matriz, en función del parámetro real $a$ .

[0,5 puntos] ¿Para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa? Justifica tu respuesta.

Enunciado: Pregunta 3 · Matemáticas II PAU Castilla-La Mancha Extraordinaria 2026

Según los criterios oficiales de corrección

a) [1,5 puntos] Valores de a que anulan det(A)

Solución: a = 0, a = 2

a) [1,5 puntos] Estudio del rango de la matriz en función de a

Solución: Si a ≠ 0 y a ≠ 2: rg(A) = 3; Si a = 0: rg(A) = 2; Si a = 2: rg(A) = 2

b) [0,5 puntos] ¿Para qué valores de a la matriz A tiene inversa?

Solución: a ≠ 0 y a ≠ 2 / ℝ \ {0, 2}

b) [0,5 puntos] Justificación de la existencia de inversa

Solución: Existe matriz inversa si y solo si det(A) ≠ 0

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