Ejercicio 2 - Apartado 2.2 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria solapamiento (2026)

Enunciado

2.2 Las matrices cuadradas que verifican que su inversa es igual a su traspuesta se llaman matrices ortogonales. Se pide:

Escribe las matrices por filas: elementos separados por comas y filas separadas por punto y coma, por ejemplo (a,b;c,d)(a, b; c, d).

2.2.1

(0.75 puntos) Comprobar que la matriz A=(001100010)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} es una matriz ortogonal y calcular A38A^{38} y (AAT)39(AA^T)^{39}, donde ATA^T es la matriz traspuesta de AA.

2.2.2

(0.5 puntos) ¿Puede ser el determinante de una matriz ortogonal igual a cero? Justificar la respuesta.

2.2.3

(0.5 puntos) Si AA y BB son dos matrices ortogonales de igual dimensión, analizar si A⋅BA \cdot B es también una matriz ortogonal.

2.2.4

(0.75 puntos) Encontrar la matriz XX que verifique A2X−2B=0A^2X - 2B = 0, siendo

B=(032034).B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}.

Enunciado: Ejercicio 2 - Apartado 2.2 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

2.2.1 Comprobar que la matriz AA es una matriz ortogonal

Solución: AAT=ATA=IAA^T = A^TA = I, luego A−1=ATA^{-1} = A^T y AA es ortogonal.

Calcular A38A^{38}

Solución: A38=A2=(010001100)A^{38} = A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Calcular (AAT)39(AA^T)^{39}

Solución: (AAT)39=I(AA^T)^{39} = I

2.2.2 (0.5 puntos) ¿Puede ser el determinante de una matriz ortogonal igual a cero? Justificar la respuesta.

Solución: No. 1=det⁡(I)=det⁡(AAT)=det⁡(A)det⁡(AT)=det⁡(A)21 = \det(I) = \det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = \det(A)^2, luego det⁡(A)=±1≠0\det(A) = \pm 1 \neq 0.

2.2.3 (0.5 puntos) Si AA y BB son dos matrices ortogonales de igual dimensión, analizar si A⋅BA \cdot B es también una matriz ortogonal.

Solución: Sí, ABAB es ortogonal: (AB)(AB)T=ABBTAT=AIAT=AAT=I(AB)(AB)^T = ABB^TA^T = AIA^T = AA^T = I y (AB)T(AB)=BTATAB=BTIB=BTB=I(AB)^T(AB) = B^TA^TAB = B^TIB = B^TB = I.

2.2.4 (0.75 puntos) Encontrar la matriz XX que verifique A2X−2B=0A^2X - 2B = 0

Solución: X=2AB=(680640)X = 2AB = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 0 & 6 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

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