Ejercicio 1A · Matemáticas II PAU Cantabria Ordinaria 2026

Enunciado

1A) Considera la matriz presentada a continuación,

$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$

dependiente del parámetro $a \in \mathbb{R}$ . Responde a las siguientes cuestiones:

[0,5 puntos] Estudia el rango de $A$ en función del valor del parámetro $a$ .

[1 punto] Calcula $A^{100}$ en función del parámetro $a$ .

[1 punto] Para $a = -1$ , calcula, si es posible, la matriz $X$ que cumple:

$AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}$

Enunciado: Ejercicio 1A · Matemáticas II PAU Cantabria Ordinaria 2026

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudia el rango de A en función del valor del parámetro a.

Solución: Si $a \neq 0$ , $\mathrm{rg}(A) = 3$ . Si $a = 0$ , $\mathrm{rg}(A) = 2$ .

b) Calcula A^{100} en función del parámetro a.

Solución: $A^{100} = \begin{pmatrix} 1 & 100a & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a^{100} \end{pmatrix}$

c) Para a = -1, calcula, si es posible, la matriz X que cumple: AXA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}

Solución: $X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$

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