Ejercicio A.1 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2023

Enunciado

Dada la matriz real $A = \begin{pmatrix} 2a & 1 & 1 \\ a & 3 & -6 \\ a+1 & 1 & a \end{pmatrix}$ , se pide:

Estudiar el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$ .

Calcular, en el caso de que exista, la inversa de $A$ para $a = 0$ .

Resolver el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ para el caso $a = 1$ .

Enunciado: Ejercicio A.1 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2023

Según los criterios oficiales de corrección

a) (1 punto) Estudiar el rango de la matriz A en función del parámetro a.

Solución: Si $a \neq 1$ y $a \neq -9/5$ , $\mathrm{rg}(A) = 3$ . Si $a = 1$ o $a = -9/5$ , $\mathrm{rg}(A) = 2$ .

b) (1 punto) Calcular, en el caso de que exista, la inversa de A para a = 0.

Solución: $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2/3 & -1/9 & 1 \\ 2/3 & 1/9 & 0 \\ 1/3 & -1/9 & 0 \end{pmatrix}$

c) (0.5 puntos) Resolver el sistema A (x, y, z)^T = (0, 0, 0)^T para el caso a = 1.

Solución: $(x, y, z) = \left(-\frac{9}{5}\lambda, \frac{13}{5}\lambda, \lambda\right),\quad \lambda \in \mathbb{R}$

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