Pregunta 1. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2026

Tema: Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución · Del examen Ordinaria (2026)

Enunciado

Un cliente de una cafetería compra 1 café, 2 tés y 2 zumos y paga 11 euros. Al día siguiente compra 1 café, 3 tés y 3 zumos y paga 16 euros. El tercer día compra 3 cafés, 3 tés y los zumos que pueda pagar con 21 euros exactos (no deben darle vuelta).

(a)

(1.5 puntos) Encuentra un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número pp de zumos que le den el tercer día. Discute el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día.

(b)

(0.5 puntos) El camarero del tercer día le dice "Por ese dinero te daré dos zumos", el cliente dice "Eso es imposible, el precio está mal calculado" ¿quién tiene razón? Justifica la respuesta.

El cliente

El camarero

(c)

(0.5 puntos) El camarero le responde, en efecto, tiene usted razón, en realidad le tengo que dar 4 zumos y el cliente queda satisfecho. ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida?

€

€

€

Enunciado: Pregunta 1. Opción A · Matemáticas II PAU Asturias Ordinaria 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Encuentra un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema de calcular el precio de cada producto en función del número p de zumos que le den el tercer día. Discute el sistema obtenido en función del número de zumos pagados el último día.

Solución: Sistema: {x+2y+2z=11x+3y+3z=163x+3y+pz=21\begin{cases} x + 2y + 2z = 11 \\ x + 3y + 3z = 16 \\ 3x + 3y + pz = 21 \end{cases} Discusión: Si p≠3p \neq 3, el sistema es compatible determinado (tiene solución única). Si p=3p = 3, el sistema es incompatible (no tiene solución).

(b) ¿Quién tiene razón?

Solución: El cliente

(b) Justificación de si el camarero o el cliente tiene razón

Solución: Si p=2p = 2, de la última fila escalonada (p−3)z=3(p - 3)z = 3 se obtiene (2−3)z=3⇒−z=3⇒z=−3<0(2 - 3)z = 3 \Rightarrow -z = 3 \Rightarrow z = -3 < 0, lo cual es imposible dado que los precios no pueden ser negativos.

(c) ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? Precio del café (x)

Solución: 1

(c) ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? Precio del té (y)

Solución: 2

(c) ¿A qué precio le ha cobrado cada bebida? Precio del zumo (z)

Solución: 3

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