Ejercicio Segundo Ejercicio - Opción 2A · Matemáticas II PAU País Vasco Ordinaria 2025

Tema: Sistemas de ecuaciones lineales: planteamiento, discusión y resolución · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

SEGUNDO EJERCICIO (2,5 puntos)

(2A) Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

{αx−2y+z=αx−2y+αz=α−2x+y+αz=−2\begin{cases} \alpha x - 2y + z = \alpha \\ x - 2y + \alpha z = \alpha \\ -2x + y + \alpha z = -2 \end{cases}

(a)

[1 punto] Encuentra los valores del parámetro α\alpha para los que el sistema tiene una única solución.

(b)

[0,75 puntos] ¿Hay algún valor del parámetro α\alpha para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.

(c)

[0,75 puntos] ¿Hay algún valor del parámetro α\alpha para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de α\alpha y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.

Enunciado: Ejercicio Segundo Ejercicio - Opción 2A · Matemáticas II PAU País Vasco Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Encuentra los valores del parámetro α para los que el sistema tiene una única solución.

Solución: α≠1\alpha \neq 1

(b) ¿Hay algún valor del parámetro α para el que el sistema no tiene solución? (Sí / No)

Solución: No

(b) Razona tu respuesta.

Solución: Si α=1\alpha = 1, el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada también, por tanto, no hay ningún valor del parámetro α\alpha para el que el sistema no tiene solución.

(c) ¿Hay algún valor del parámetro α para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de α

Solución: α=1\alpha = 1

(c) para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.

Solución: Solución general: y=zy = z, x=1+yx = 1 + y. Dos soluciones particulares: (1,0,0)(1, 0, 0) y (2,1,1)(2, 1, 1)

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