Problema 1 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2025

Queremos encriptar el mensaje “HOLA” con un sistema de encriptado que consta de los siguientes pasos:

Paso 1: Convertimos cada carácter del mensaje a encriptar (en nuestro caso la palabra “HOLA”) en un número según la tabla siguiente:

A · B · C · D · E · F · G · H · I · J · K · L · M · N · Ñ · O · P · Q · R · S · T · U · V · W · X · Y · Z

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 · 19 · 20 · 21 · 22 · 23 · 24 · 25 · 26 · 27

Paso 2: Construimos una matriz columna, $M_c$, con los cuatro números obtenidos en el paso anterior.

Paso 3: Multiplicamos la matriz de encriptado, $M_E = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$, por la matriz $M_c$ obtenida en el paso anterior.

El resultado del último paso, $M_{\text{final}}$, es el mensaje encriptado.

a)

[0,5 puntos] Obtén el mensaje encriptado al que se llega a partir del mensaje “HOLA” inicial. Escribe los cuatro valores del vector columna $M_{\text{final}}$:

b)

[0,5 puntos] Explica cómo podríamos realizar el proceso de desencriptado para recuperar un mensaje a partir de un mensaje encriptado recibido.

c)

[1 punto] Si hemos obtenido el mensaje encriptado $M_{\text{final}} = \begin{pmatrix} 30 \\ -21 \\ -25 \\ -16 \end{pmatrix}$ con el proceso descrito arriba, ¿cuál es el mensaje original?

d)

[0,5 puntos] Si quisiéramos utilizar otra matriz de encriptado, del mismo tamaño que $M_E$, ¿qué condición debería cumplir dicha matriz para poder realizar el proceso completo de encriptado y desencriptado sin problemas?