Pregunta 3 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria Coincidencias 2026

a) (1 punto) Pruebe que si A y B son dos matrices cualesquiera del conjunto S, AB está en S.

Solución: Si $A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a+b \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & c+d \end{pmatrix}$, se tiene que $AB = \begin{pmatrix} ac & ad + bc + bd \\ 0 & ac + ad + bc + bd \end{pmatrix} \in S$.

b1) Determine para qué valores de a y b las matrices de S son invertibles. Pruebe que si una matriz de S tiene inversa, esta es también una matriz de S.

Solución: Las matrices de $S$ tienen inversa cuando $a \neq 0$ y $a \neq -b$. Su inversa es $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a(a+b)} \\ 0 & \frac{1}{a+b} \end{pmatrix} \in S$.

b2) Calcule todas las matrices A de S tales que A^2 = A.

Solución: Las cuatro matrices son: $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.