Ejercicio B.1 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2024

B.1. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Consideremos las matrices reales $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$, con $b \neq 0$.

Se pide:

a)

(1.25 puntos) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1} = A$.

Valores de $b$:

b)

(0.75 puntos) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$.

Determinante:

c)

(0.5 puntos) Resolver el sistema $B \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ para $b = 1$.

Solución ($x, y, z$):