Ejercicio A.1 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2023

Enunciado

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} b & 0 \\ 1 & b \end{pmatrix}$ , se pide:

(0.5 puntos) Calcular el determinante de $A^t A$ .

(0.5 puntos) Calcular el rango de $BA$ en función de $b$ .

(0.75 puntos) Calcular $B^{-1}$ para $b = 2$ . Escribe los elementos por filas o la matriz:

(0.75 puntos) Para $b = 1$ , calcular $B^5$ . Escribe los elementos por filas o la matriz:

Enunciado: Ejercicio A.1 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2023

Según los criterios oficiales de corrección

a) (0.5 puntos) Calcular el determinante de $A^t A$ .

Solución: $0$

b) Rango de $BA$ si $b \neq 0$ :

Solución: $2$

b) Rango de $BA$ si $b = 0$ :

Solución: $1$

c) (0.75 puntos) Calcular $B^{-1}$ para $b = 2$ .

Solución: $\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ -1/4 & 1/2 \end{pmatrix}$

d) (0.75 puntos) Para $b = 1$ , calcular $B^5$ .

Solución: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$

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