Pregunta 2.1 · Matemáticas II PAU Galicia Extraordinaria 2026

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2026)

Enunciado

PREGUNTA 2. ÁLGEBRA. (2 puntos)

Responda uno de estos dos apartados: 2.1. o 2.2.

2.1. Dadas las matrices A=(101020)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} y B=(101010101)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide responder las siguientes cuestiones:

2.1.1.

Calcule las matrices X=AATX = AA^T e Y=ATAY = A^T A, siendo ATA^T la matriz traspuesta de AA. ¿Son XX o YY invertibles? Razone la respuesta y calcule las inversas en caso de que sea posible.

Sí

No

Sí

No

2.1.2.

Calcule las matrices de la forma M=(abc)M = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} tales que BM=MBM = M.

Enunciado: Pregunta 2.1 · Matemáticas II PAU Galicia Extraordinaria 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

2.1.1. Matriz X = AA^T

Solución: (2004)\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

2.1.1. Matriz Y = A^T A

Solución: (101040101)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

¿Son X o Y invertibles?

Solución: X es invertible; Y no es invertible

2.1.1. Calcule las inversas en caso de que sea posible

Solución: (1/2001/4)\begin{pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1/4 \end{pmatrix}

2.1.1. Razonamiento de la invertibilidad

Solución: det(X) = 8 ≠ 0 por lo que X es invertible. det(Y) = 0 (tiene dos filas iguales) por lo que Y no es invertible.

2.1.2. Calcule las matrices de la forma M = (a, b, c)^T tales que BM = M.

Solución: M=(0b0)M = \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ 0 \end{pmatrix}, con b∈Rb \in \mathbb{R}

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