Problema 1 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2026

a) Número de ejemplares de la especie A dos meses después ($a_2$)

Solución: 100

a) Número de ejemplares de la especie B dos meses después ($b_2$)

Solución: 324

a) Número de ejemplares de la especie C dos meses después ($c_2$)

Solución: 434

b) Razona (sin calcular $M^k$) que se cumple $\begin{pmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \end{pmatrix} = M^k \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix}$

Solución: Por aplicación reiterada de la relación de recurrencia: $$\begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix} = M \left( M \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix} \right) = M^2 \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix}$$ Siguiendo este proceso sucesivamente, en el paso $k$ se obtiene: $$\begin{pmatrix} a_k \\ b_k \\ c_k \end{pmatrix} = M^k \begin{pmatrix} a_0 \\ b_0 \\ c_0 \end{pmatrix}$$

c) Calcula $M^k$ con $k \in \mathbb{N}$. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo?

Solución: $$M^k = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ k & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La especie A se mantiene constante en 100 ejemplares ($a_k = a_0$), mientras que las especies B y C crecerán indefinidamente con el paso del tiempo ($b_k = k a_0 + b_0$ y $c_k = k a_0 + c_0$, tendiendo a infinito cuando $k \to \infty$).