Pregunta 1. Opción B · Matemáticas II PAU Asturias Extraordinaria 2025

Una matriz $M$ verifica que $\det(M) = x$. (Los apartados siguientes son independientes.) Se pide:

(a)

[1 punto] Supongamos que la matriz $M$ tiene $2$ filas y $2$ columnas, y que $M^2 = (x - 1)I$, siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x \in \mathbb{R}$.

(b)

[0,75 puntos] Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene $3$ filas y $3$ columnas. Estudie si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Sí

No

(c)

[0,75 puntos] Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3 \times 3$, que $x \neq 0$ y que $M = xM^2$. Calcule los posibles valores de $x$ y $\det(M^{-1})$ para cada uno de ellos.