Problema 3 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2026

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2026)

Enunciado

3. Sean AA, MM y NN tres matrices cuadradas de tamaño 4×44 \times 4 que satisfacen la condición M⋅A=I+N⋅A,M \cdot A = I + N \cdot A, donde II es la matriz identidad de orden 4.

a)

(1 punto) Justifica que AA es regular.

b)

(1 punto) Si M=(12341/21/2301/350−1π022)yN=(03421/2−1/2311/35−10π021),M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1/2 & 1/2 & \sqrt{3} & 0 \\ 1/3 & 5 & 0 & -1 \\ \pi & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad N = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & \sqrt{3} & 1 \\ 1/3 & 5 & -1 & 0 \\ \pi & 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, calcula A−1A^{-1}.

Enunciado: Problema 3 · Matemáticas II PAU Aragón Extraordinaria 2026

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Justifica que A es regular.

Solución: A es regular porque (M - N)·A = I, lo que demuestra que tiene inversa por la izquierda A^{-1} = M - N, o bien det(M - N)·det(A) = det(I) = 1, de modo que det(A) ≠ 0.

b) Calcula A^{-1}

Solución: A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 1, columna 2)

Solución: -1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 1, columna 3)

Solución: -1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 1, columna 4)

Solución: 2

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 2, columna 1)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 2, columna 2)

Solución: 1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 2, columna 3)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 2, columna 4)

Solución: -1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 3, columna 1)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 3, columna 2)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 3, columna 3)

Solución: 1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 3, columna 4)

Solución: -1

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 4, columna 1)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 4, columna 2)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 4, columna 3)

Solución: 0

b) Introduce la matriz A−1=M−NA^{-1} = M - N: (fila 4, columna 4)

Solución: 1

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