Ejercicio 2 - Apartado 2.1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Enunciado

2.1 Se consideran la matriz $A$ , dependiente del parámetro real $a$ , y el vector $w$ , siguientes:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2 & 3 & 1 \\ a & 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad w = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^T,$

donde $T$ indica transpuesta. Se pide:

2.1.1

(1 punto) Calcular el rango de $A$ en función del parámetro $a$ .

2.1.2

(0.75 puntos) Discutir el sistema $A \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = w$ .

2.1.3

(0.75 puntos) Calcular el valor de $z$ en función de $a$ cuando el sistema es compatible determinado.

Enunciado: Ejercicio 2 - Apartado 2.1 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria solapamiento 2026

Según los criterios oficiales de corrección

2.1.1 Calcular el rango de $A$ en función del parámetro $a$ . — Valores de $a$ para los que $|A| = 0$

Solución: $a = 1$ y $a = \dfrac{2}{3}$

Rango de $A$ para esos valores de $a$

Solución: $\mathrm{rg}(A) = 2$

Rango de $A$ para el resto de valores de $a$

Solución: $\mathrm{rg}(A) = 3$

2.1.2 Discutir el sistema $A \cdot (x, y, z)^T = w$ . — Compatible determinado

Solución: $a \neq 1$ y $a \neq \frac{2}{3}$

Valores de $a$ para los que el sistema es compatible indeterminado

Solución: $a = 1$

Valores de $a$ para los que el sistema es incompatible

Solución: $a = \dfrac{2}{3}$

2.1.3 (0.75 puntos) Calcular el valor de $z$ en función de $a$ cuando el sistema es compatible determinado.

Solución: $z = \dfrac{3}{3a - 2}$

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