Ejercicios de Sentido de la medida

186 ejercicios de Sentido de la medida de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2013-2026. Con solución paso a paso.

EJERCICIO 3.1 · Ordinaria Suplente 1 2026

Determinar los parámetros a y b para que la función definida a trozos f(x) con valor absoluto sea derivable en x = 1/2.

EJERCICIO 3.2 · Ordinaria Suplente 1 2026

Calcular la integral definida de f(x) = x/(|x|+1) en [0,2] y deducir la integral en [-2,2] a partir de su simetría.

Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2 2026

Estudio de máximos de la función de potencia de pérdida P(t) = 4t/(1+t^2) y cálculo de la energía total perdida en los 3 primeros años mediante una integral definida.

Ejercicio 4.1 · Ordinaria Suplente 2 2026

Determina para qué valores de a el límite lim_{x->0} (e^{-ax} - (1 - ax)cos(2x)) / x^2 vale 6.

Ejercicio 4.2 · Ordinaria Suplente 2 2026

Las tallas de las niñas al nacer siguen una distribución normal N(50; 1,8). a) Halla la probabilidad de que una niña al nacer mida más de 54 cm. b) De 100 niñas nacidas, ¿cuántas tendrán una talla entre 48,2 y 51,8 cm?

Ejercicio 1 · Ordinaria Titular 2026

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo con perímetro de 8 metros. Halla las dimensiones que maximicen la entrada de luz.

Ejercicio 4.1 · Ordinaria Titular 2026

Halla la primitiva F(x) de f(x) = (8e^x - 4e^(2x))/(1 + e^x) cuya recta tangente en x = 0 es y = 2x + 12ln(2).

EJERCICIO 2 · Extraordinaria Suplente 1 2025

Un náufrago se encuentra en el punto (2, 0). Un ferry sigue la trayectoria y = √(x + 1). Halla el punto de la trayectoria más cercano al náufrago y la menor distancia posible.

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Suplente 1 2025

Sea f: (-1, 1) -> R definida por f(x) = (1 + |x|)/(1 - |x|). a) Estudia la derivabilidad de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

EJERCICIO 6 · Extraordinaria Suplente 1 2025

Considera las funciones f(x) = -e^x y g(x) = -e^(-x). a) Esboza las gráficas de dichas funciones. b) Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados y limitados por las gráficas y las rectas x = -1 y x = 1.

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Suplente 2 2025

Sea f: R -> R definida por f(x) = (x^3 + 1)/(x^2 + 1). Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0, 5).

EJERCICIO 2 · Extraordinaria Suplente 2 2025

Considera la función f: (-1, 1) -> R definida por f(x) = 1 / (1 - |x|)^2. a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Suplente 2 2025

Sean f: (-1,0) U (0,1) -> R y g: R -> R con f(x) = ln(x^2/e) y g(x) = x^3 + 2. a) Calcula a != 0 tal que la recta normal a f en (a, f(a)) sea paralela a la recta tangente a g en (a, g(a)). b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2025

Dada f(x) = 1/(x^2 + 2x + 2), calcular la primitiva cuya gráfica pasa por el punto (0, pi/4).

Ejercicio 3 · Extraordinaria Titular 2025

Calcula el valor del parámetro k para que la integral definida entre 1 y 3 de e^(x-k)(x-2) dx sea igual a 2.

Ejercicio 6 · Extraordinaria Titular 2025

Calcula a y b sabiendo que el límite cuando x tiende a 0 de (x·sen(x) + a(e^x - 1) + sen(x)) / (b·x^2 + x - sen(x)) es igual a 1.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Titular 2025

La velocidad máxima en un puente es 70 km/h. a) La velocidad sigue una N(64, 4). Si el radar salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se sancionan? b) En el sentido contrario sigue una N(63,6, sigma). El 5,05% viaja a más de 80 km/h. Halla la desviación típica.

Ejercicio 1 a) - Recta tangente y normal · Ordinaria Suplente 1 2025

Considera la función f: R -> R definida por f(x) = (x - 1)e^x. Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de inflexión.

EJERCICIO 2 · Ordinaria Suplente 1 2025

Sea f(x) = (x - 1)^2. a) Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de f y la recta y = a con a > 0. b) Calcula a > 0 para que el área del recinto sea 4/3 unidades cuadradas.

EJERCICIO 3 · Ordinaria Suplente 1 2025

Considera la función f(x) definida a trozos: f(x) = x sen(2x) si x <= 0 y f(x) = cos(pi x) - 1 si x > 0. Calcula la integral de f(x) entre -pi/4 y 1.

EJERCICIO 7 · Ordinaria Suplente 1 2025

Problema de cálculo de probabilidades utilizando la distribución normal para los diámetros de bolas de rodamientos. a) En circunstancias ideales, donde X ~ N(13, 0.1), hallar P(12.9 <= X <= 13.15). b) El 15 de julio, donde Y ~ N(12.9, 0.2), hallar P(12.9 <= Y <= 13.15).

Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2 2025

Sea f: [0, 2] -> R definida a trozos por f(x) = 1 - e^x si 0 <= x < 1 y f(x) = 2x - 1 - e si 1 <= x <= 2. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Ejercicio 2 · Ordinaria Suplente 2 2025

Calcula la integral definida entre sqrt(3) y 2 de 4x / (x^4 - 6x^2 + 10) dx mediante el cambio de variable t = x^2 - 3.

Ejercicio 3 · Ordinaria Suplente 2 2025

Sean las funciones f, g: R -> R definidas por f(x) = x^3 - x y g(x) = -x^2 + 1. a) Halla los puntos de corte (abscisas y valores) de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas. b) Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de f y g.

Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2025

Sabiendo que el límite cuando x tiende a 0 de (sen(x) - ax + 2 - 2cos(x))/(e^x - x*cos(x) - 1) es finito, calcula a y el valor del límite.

Ejercicio 3 · Ordinaria Titular 2025

Estudio de f(x) = a + ln(x)/x^2 en (0, +inf). En a) calcular a para que y = 1 sea asíntota horizontal. En b) con a = 0, calcular intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.

Ejercicio 6 · Ordinaria Titular 2025

Halla la función f : (0, +∞) -> R que pasa por los puntos (2, e - 2 - 2 ln(2)) y (1, 0), y verifica que f''(x) = e^(x-1) - 1/x^2.

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Reserva 2024

De entre todos los rectángulos de área 25 cm², determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Reserva 2024

Calcula la integral definida de f(x) entre -pi y pi, siendo f(x) = 1 - e^x si x <= 0 y f(x) = x cos(x) si x > 0.

EJERCICIO 4 · Extraordinaria Reserva 2024

Calcula una primitiva de f(x) = (x - 1)^2 ln((sqrt(x-1))/2) cuya gráfica pase por el punto (5, -7/2).

Ejercicio 1 · Extraordinaria Suplente 2024

Dada f(x) = ln((x^2 + 1)/x) en (0, +infinito), calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y estudiar y hallar los extremos relativos y absolutos (abscisas y valores que alcanzan).

Ejercicio 2 · Extraordinaria Suplente 2024

Calcula a y b sabiendo que el límite cuando x tiende a 0 de (a(ln(1+x)-x) + b(e^x-1) + 1-cos(x)) / (sen^2(x)) es igual a 5.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Suplente 2024

Considera f(x) = integral de 0 a x de cos(t)*sen^2(t) dt. Determina las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = pi/4.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Suplente 2024

Calcula la integral indefinida ∫ dx / √(4 + 4e^x) mediante el cambio de variable t = √(1 + e^x).

Ejercicio 1 · Extraordinaria Titular 2024

Dada f(x) = a + b cos(x) + c sen(x), hallar a, b y c sabiendo que en x = π/2 la recta tangente es y = 1, y que y = x - 1 corta a la gráfica de f en x = 0.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2024

Dada f(x) = (x - 1/2) e^(-x^2): a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Hallar los extremos absolutos de f.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Titular 2024

Dadas f(x) = -x^2 + 7 y g(x) = |x^2 - 1|: a) Hallar los puntos de corte y esbozar el recinto. b) Calcular el área del recinto acotado.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2024

Calcular la integral definida entre 0 y π/2 de e^x cos(x) dx.

Ejercicio 1 · Ordinaria Reserva 2024

Sea f(x) = (x^2 + 1)e^x. a) Calcula intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Determina intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Ejercicio 2 · Ordinaria Reserva 2024

Función derivable f(x) a trozos con parámetros a y b. a) Halla a y b. b) Halla las rectas tangente y normal en x = 0.

Ejercicio 3 · Ordinaria Reserva 2024

Para f(x) = x^3 - 6x^2 + 8x: a) Calcula los puntos de corte con los ejes y esboza la gráfica. b) Calcula la suma de las áreas de los recintos acotados entre la gráfica y el eje OX.

Ejercicio 4 · Ordinaria Reserva 2024

Calcula la integral indefinida de (e^(3x) - 1)/(e^x - 3) dx utilizando el cambio de variable t = e^x.

EJERCICIO 2 · Ordinaria Suplente 2024

Considera la función f(x) = arc tg(x + pi). a) Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de f y halla los puntos de inflexión. b) Calcula el límite cuando x tiende a -pi de arc tg(x + pi) / sen(x).

EJERCICIO 3 · Ordinaria Suplente 2024

Halla la función f: (2, +inf) -> R que pasa por (3, -4ln 5) y verifica f'(x) = (3x^2 + 4x + 12)/(x^2 - 4).

EJERCICIO 4 · Ordinaria Suplente 2024

Sea f(x) = (x^2 - 3x + 5)e^x. Halla una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0, 5).

EJERCICIO 1 · Ordinaria Titular 2024

Sea f(x) = ln(x) en (0, +inf), y los puntos A(1,0) y B(e,1). a) Determina los puntos de la gráfica donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en A.

EJERCICIO 2 · Ordinaria Titular 2024

Considera la función continua f definida a trozos por (x cos(x) - a sen(x))/x^3 si x < 0, y b cos(x) - 1 si x >= 0. Calcula a y b.

EJERCICIO 3 · Ordinaria Titular 2024

Considera la función f(x) = (x^3 + 2)/(x^2 - 1) para x != -1, x != 1. Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0,1).

EJERCICIO 4 · Ordinaria Titular 2024

Halla la función f: R -> R tal que f''(x) = x cos(x) y cuya gráfica pasa por los puntos (0, pi/2) y (pi, 2pi).

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Reserva 2023

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

EJERCICIO 2 - Sentido de la medida · Extraordinaria Reserva 2023

Para a = 5 y b = -4, calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = (x^2 + 5)/(x + 4) en x = 0.

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Reserva 2023

Sabiendo que F(x) = e^(x^2) es una primitiva de f: a) Comprueba que f es creciente. b) Calcula el área del recinto limitado por f, el eje de abscisas y la recta x = 1.

EJERCICIO 4 · Extraordinaria Reserva 2023

Considera la función f: [0, +∞) → ℝ definida por f(x) = cos(√x). Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (0, 5) usando el cambio de variable sugerido t = √x.

Ejercicio 1.a - Recta tangente · Extraordinaria Suplente 2023

Determina a sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = (ln(x + 1) + a) / (3x + 4) en el punto de abscisa x = 0 es 1.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Suplente 2023

Halla las dimensiones de un cilindro con tapas de capacidad 20 litros para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Suplente 2023

Calcula una primitiva de la función f: [0,+∞) → ℝ definida por f(x) = arc tg(√x) cuya gráfica pase por el punto (0, 1), utilizando la sugerencia x = t².

Ejercicio 4 · Extraordinaria Suplente 2023

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) = ln(x + 1), el eje de abscisas y la recta x = e - 1.

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Titular 2023

Para f(x) a trozos en [-2, 2π], halla extremos relativos y absolutos (abscisas y valores) y la recta tangente en x = π/2.

EJERCICIO 2 · Extraordinaria Titular 2023

Para f(x) = x(ln(x))^2 en (0, +∞), calcula sus extremos relativos y extremos absolutos (abscisas y valores).

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Titular 2023

Calcula a con 0 < a < 1 tal que la integral de a a 1 de (ln(x)/x) dx + 2 = 0.

EJERCICIO 4 · Extraordinaria Titular 2023

Considera las funciones f(x) = 5 - x^2 y g(x) = 4/x^2. a) Esboza las gráficas y calcula los puntos de corte. b) Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por f y g.

EJERCICIO 1 · Ordinaria Reserva 2023

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

EJERCICIO 2 · Ordinaria Reserva 2023

Sabiendo que el límite cuando x tiende a 0 de (sen(x) - ln(1+x))/(a*x^2 - x + e^x - cos(2x)) es igual a -1/7, calcula a.

EJERCICIO 3 · Ordinaria Reserva 2023

Calcula la integral definida de 1/(9 - x^2) dx entre 6 y 12.

EJERCICIO 4 · Ordinaria Reserva 2023

Para f(x) = x^2 + 1: a) Determina el punto de tangencia con y = 4x - 3. b) Haz un esbozo del recinto limitado por f(x), y = 4x - 3 y el eje de ordenadas, y calcula su área.

Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2023

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm, calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

Ejercicio 3 · Ordinaria Suplente 2023

Determina f: (0, +∞) -> R dos veces derivable tal que pasa por (1, 0), f'(e) = e y f''(x) = 2ln(x) + 1 para x > 0.

Ejercicio 4 · Ordinaria Suplente 2023

Para f(x) = |x^2 - 1| y g(x) = x + 5: a) Calcula los puntos de corte y esboza el recinto que determinan. b) Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio 1 · Ordinaria Titular 2023

Considera la función f(x) = 1/(e^x + e^(-x)). a) Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de f (abscisas y valores). b) Calcula lim_{x -> +inf} (x^2 f(x)).

Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2023

Sea f: [-2, 2] -> R con f(x) = x^3 - 2x + 5. a) Determina las abscisas en las que la pendiente de la recta tangente coincide con la de la recta secante por (-2, f(-2)) y (2, f(2)). b) Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal en el punto de inflexión.

Ejercicio 3 · Ordinaria Titular 2023

Considera f(x) = x|x - 1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa x = 0.

Ejercicio 4 · Ordinaria Titular 2023

Considera F(x) = int_0^x sen(t^2) dt. Calcula lim_{x -> 0} (x F(x)) / sen(x^2).

Ejercicio 1 · Extraordinaria Reserva 2022

Calcula a y b sabiendo que lim_{x->0} (a sen(x) + x ln(x+1) + bx^2) / (x^3 + x^2) = 2.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Reserva 2022

Para f(x) = e^x(cos(x) + sen(x)) en [0, 2pi], calcula los extremos absolutos y las ecuaciones de recta tangente y recta normal en x = 3pi/2.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Reserva 2022

Considera f(x) = x^3 - x. Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de f y la recta normal en x = 0.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Reserva 2022

Calcula la integral definida de 0 a 3 de x / sqrt(1+x) dx mediante el cambio de variable t = sqrt(1+x).

Ejercicio 1 · Extraordinaria Suplente 2022

Sea f continua definida a trozos con parámetros λ y μ. a) Calcula λ y μ. b) Para λ = 2, halla la recta tangente a f en x = 1.

Ejercicio 2 - Sentido de la medida · Extraordinaria Suplente 2022

Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de f(x) = (x^4 - 3x^2 + 2)/(x + 2)^3 en el punto de abscisa x = 0.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Suplente 2022

Calcula la integral indefinida ∫ (2x^3 + 2x^2 - 2x + 7)/(x^2 + x - 2) dx.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Suplente 2022

Considera las funciones f(x) = x^2 y g(x) = a|x|, con a > 0. Determina el valor de a para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

Ejercicio 1 · Extraordinaria Titular 2022

Calcula a sabiendo que lim_{x->+inf} (ax) / ((ln x)^3 + 2x) = 1.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2022

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por f(x) = -x^2 + 12 y el eje de abscisas.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Titular 2022

Calcula la integral definida de 3 a 8 de 1/(sqrt(1+x) - 1) dx mediante el cambio de variable t = sqrt(1+x) - 1.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2022

Dadas las funciones f(x) = x^3 + 2 y g(x) = -x^2 + 2x + 2: a) Calcula los puntos de corte de sus gráficas y esboza sus gráficas. b) Determina el área del recinto limitado por las gráficas en el primer cuadrante.

Ejercicio 1 · Ordinaria Reserva 2022

Sea f la función continua definida por f(x) = (x^2+1)/(x-1) si x <= 0 y (ax+b)/(x+1)^2 si x > 0. a) Determina a y b sabiendo que f tiene un extremo relativo en x = 2. b) Para a = 2 y b = -1, estudia la derivabilidad de f.

Ejercicio 2 · Ordinaria Reserva 2022

Minimizar el coste del cercado con tramos rectos de coste 10 €/m y semicirculares de 20 €/m, dado el área del rectángulo central 200/π m².

Ejercicio 3 · Ordinaria Reserva 2022

Calcular la primitiva de f(x) = e^x sen(2x) cuya gráfica pasa por el punto (0, 0).

Ejercicio 4 · Ordinaria Reserva 2022

Calcular los puntos de corte, esbozar el recinto y determinar el área encerrada entre las curvas f(x) = 1 - x^2 y g(x) = 2x^2.

Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2022

Sea f la función continua definida por ramas. a) Calcula a y b. b) Para a = -1 y b = 4, estudia si existe la derivada de f en x = 2 y halla la recta tangente en dicho punto.

Ejercicio 2 · Ordinaria Suplente 2022

Considera la función f(x) = ln(x^2 + 1). a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Determina intervalos de convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Ejercicio 3 · Ordinaria Suplente 2022

Considera F: [0, 2pi] -> R definida por F(x) = integral de 0 a x de 2t cos(t) dt. a) Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento de F. b) Halla la recta tangente en x = pi.

Ejercicio 4 · Ordinaria Suplente 2022

Calcula la integral definida entre 0 y 1 de x*arctg(x) dx.

Ejercicio 1.a - Continuidad · Ordinaria Titular 2022

Calcula los parámetros a y b sabiendo que la función f(x) a trozos es continua en todo ℝ.

Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2022

Determina las dimensiones del rectángulo de área máxima con lados paralelos a los ejes inscrito en la región limitada por f(x) = 4 - x^2/3 y g(x) = x^2/6 - 2.

Ejercicio 3.b - Área del recinto · Ordinaria Titular 2022

Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) a trozos (2x+4 si x < 0, (x-2)^2 si x >= 0) y el eje de abscisas.

Ejercicio 4 · Ordinaria Titular 2022

Halla una primitiva de f(x) = x^3 / (x^2 - 2x + 1) para x ≠ 1 que pase por el punto (2, 6).

Ejercicio 1 · Extraordinaria Reserva 2021

Calcula a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tiene un punto de inflexión en (0, 4) y su recta normal en (1, 8) es paralela al eje de ordenadas.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Reserva 2021

Considera la función f: ℝ → ℝ definida por f(x) = e^x. a) Calcula a para que la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) pase por el origen de coordenadas. b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente a la misma en el punto (1, f(1)) y el eje de ordenadas.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Reserva 2021

Calcula la integral definida de 1 a 3 de |x^2 - 3x + 2| dx.

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Suplente 2021

Sabiendo que lím_{x -> 0} ((x + 1)/ln(x + 1) - a/x) es finito, calcula a y el valor del límite.

EJERCICIO 2 · Extraordinaria Suplente 2021

Sea f(x) = (ax^2 + b)/(a - x). a) Halla a y b sabiendo que pasa por (2, 3) y tiene asíntota oblicua con pendiente m = -4. b) Para a = 2 y b = 3, calcula las rectas tangente y normal en x = 1.

EJERCICIO 3 · Extraordinaria Suplente 2021

f(x) = x^2 + |x - 1|. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula la integral de 0 a 2 de f(x) dx.

EJERCICIO 4 · Extraordinaria Suplente 2021

Considera f(x) = x*e^x. a) Esboza el recinto limitado por f, x = 2, y = x. b) Determina el área del recinto anterior.

Ejercicio 1 · Extraordinaria Titular 2021

Calcula a y b sabiendo que lim_{x->0} [a(1-cos(x)) + b sen(x) - 2(e^x - 1)] / x^2 = 7.

Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2021

Halla a > 0 y b > 0 sabiendo que la gráfica de f(x) = (b*x^2)/(1 + a*x^4) tiene en el punto (1, 2) un punto crítico.

Ejercicio 3 · Extraordinaria Titular 2021

Para f(x) = 1 + integral(0 a x) de t*e^t dt, determina los intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión (abscisas y ordenadas).

Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2021

Halla una primitiva de f(x) = (x^2 + 1)/(x^2 - 1) cuya gráfica pase por el punto (2, 4).

Ejercicio 1 · Ordinaria Reserva 2021

Sea la función derivable f(x) = (ax+b)/(x-1) si x <= 0 y ln(1+x) si x > 0. a) Determina a y b. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a f en x = 2.

Ejercicio 2 · Ordinaria Reserva 2021

Halla a, b y c sabiendo que f(x) = a + b*sen(x) + c*sen(2x) tiene un punto crítico en x = π y la recta y = -1/2 x + 3 es normal a su gráfica en x = 0.

Ejercicio 3 · Ordinaria Reserva 2021

f(x) = (ln(x))^2 en (0, +inf). a) Determina intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. b) Calcula el área entre f(x), y=0, x=1 y x=e.

Ejercicio 4 · Ordinaria Reserva 2021

Calcula la integral definida entre 0 y 2 de 1/(1+sqrt(e^x)) dx usando el cambio t = sqrt(e^x).

Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2021

Sea la función continua f: R -> R definida a trozos por ln(e^x + x^3)/x si x < 0, 4x^2 + a si 0 <= x < 1, y b + sen(pi*x) si 1 <= x. Determina a y b.

Ejercicio 3 · Ordinaria Suplente 2021

Calcula la integral definida entre 0 y pi/2 de (2*sen^2(x) - cos^2(x)) dx.

Ejercicio 4 · Ordinaria Suplente 2021

Considera f(x) = |x| - 2 y g(x) = 4 - x^2. a) Halla los puntos de corte de sus gráficas y esboza el recinto que delimitan. b) Determina el área del recinto.

Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2021

Dada la función definida a trozos f(x), continua en R: a) Hallar a mediante límites laterales y L'Hôpital. b) Ecuación de la recta tangente en x = -1.

Ejercicio 3 · Ordinaria Titular 2021

Dada f(x) = 4x³ - x⁴: a) Hallar intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Esbozar la gráfica y calcular el área del recinto acotado por la gráfica y el eje OX.

Ejercicio 4 · Ordinaria Titular 2021

Considerando F(x) = ∫₀ˣ (2t + √t) dt, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en x = 1.

Ejercicio 1 · Examen 1 2020

Calcula el parámetro a sabiendo que lím_{x→0} (1/ln(1-x) - (ax-1)/x) = 7/2.

Ejercicio 2 · Examen 1 2020

Halla la primitiva de f(x) = (-x^3 + 2x - 3)/(x^2 - x) cuya gráfica pasa por el punto (2, 3 ln 2).

Ejercicio 5 · Examen 1 2020

Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse disponiendo de 96 metros de valla dejando una abertura de 4 metros en uno de los laterales para una puerta, y el valor de dicha área.

Ejercicio 6 · Examen 1 2020

Calcula la integral indefinida de ln(x^2 + 2x + 2) dx mediante el cambio de variable t = x + 1.

EJERCICIO 1 · Examen 2 2020

Sabiendo que lim_{x->0} (x*e^x - ln(1+x) - (a+1)x)/x^2 es finito, calcula a y el valor del límite.

EJERCICIO 2 · Examen 2 2020

Determina la función f: (-1, +inf) -> R sabiendo que es dos veces derivable, pasa por (0, 1), f'(0) = 0 y f''(x) = 1/(x+1).

EJERCICIO 5 · Examen 2 2020

Sea f(x) = |x|/(2-x) para x != 2. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

EJERCICIO 6 · Examen 2 2020

Considera las funciones f(x) = -4x + 2 y g(x) = -x^2 + 2x + c. a) Halla c sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que g alcanza su máximo. b) Para c = -3, calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

EJERCICIO 2 · Examen 3 2020

Determina la única función derivable f: R -> R que cumple que f(0) = 1, f'(0) = 1 y f''(x) = e^x(x + 2).

EJERCICIO 5 · Examen 3 2020

Determinar los coeficientes a, b, c y d de la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d que tiene un punto crítico en x = 0, pasa por (0, 3) y tiene como recta tangente en x = 1 la recta y = -2x + 2.

EJERCICIO 6 · Examen 3 2020

Calcula el valor de a > 0 para que el área comprendida entre la parábola y = 3x^2 - 2ax y el eje de abscisas sea 4 unidades cuadradas.

EJERCICIO 1 · Examen 4 2020

Considera la función f: R -> R dada por f(x) = e^x(x^2 - 5x + 6). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f y los puntos de inflexión de su gráfica.

EJERCICIO 2 · Examen 4 2020

Calcula la integral definida de 0 a pi de x*sen^2(x) dx.

EJERCICIO 5 · Examen 4 2020

Sea la función derivable f(x) definida a trozos por e^(2ax - 4b) si x < 1 y 1 - x ln(x) si x >= 1. Determina a y b, y halla la ecuación de la recta tangente a f en x = 2.

EJERCICIO 6 · Examen 4 2020

Considera f(x) = |x| y g(x) = x^2 - 2. Calcula los puntos de corte, esboza el recinto que determinan y calcula su área.

EJERCICIO 1 · Examen 5 2020

Sea f(x) = (5 - x)e^(x-4). Determina los puntos de la gráfica de f cuya recta tangente tiene pendiente máxima.

EJERCICIO 2 · Examen 5 2020

Considera la función f(t) = 1/(1+e^t). a) Calcula la integral indefinida ∫f(t)dt mediante el cambio x = 1+e^t. b) Se define g(x) = ∫_0^x f(t)dt. Calcula el límite cuando x tiende a 0 de g(x)/x.

EJERCICIO 5 · Examen 5 2020

Se sabe que la función f(x) = ax^3 + bx^2 + cx - 1 tiene un punto crítico en x = 2 y la recta normal en x = 1 es y = 1/2 x + 3/2. Calcula a, b y c.

EJERCICIO 6 · Examen 5 2020

Calcula la integral indefinida ∫ cos(ln(x)) dx.

Ejercicio 2 · Examen 6 2020

Calcula a > 0 sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de f(x) = x·e^(3x), el eje de abscisas y la recta x = a vale 1/9.

Ejercicio 5 · Examen 6 2020

Para f(x) = sen(x)/(2 - cos(x)) en [0, 2π], halla los extremos absolutos (abscisas y valores) y determina las ecuaciones de la recta tangente y normal en x = π/3.

Ejercicio 6 · Examen 6 2020

Sea f(x) = (3x^2 + 4)/(x - 2)^2. Calcula la integral indefinida ∫ f(x) dx y la primitiva que pasa por (3, 5).

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria Suplente 2019

Se considera la función f: (-2π, 2π) -> R dada por f(x) = cos(x) / (2 + cos(x)). (a) Calcula sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. (b) Halla sus máximos y mínimos relativos (abscisas y valores alcanzados).

Opción A - Ejercicio 2 · Extraordinaria Suplente 2019

Sea f(x) = x^4 / (x^2 - 1) para x ≠ 1, -1. (a) Halla todas las funciones primitivas de f. (b) Calcula la primitiva que pasa por (2, 0).

Opción B - Ejercicio 1 · Extraordinaria Suplente 2019

Dada la función f(x) = 2x³ + ax² + bx + c con punto de inflexión en x = 1 y recta tangente en ese punto y = -6x + 6, calcula los coeficientes a, b y c.

Opción B - Ejercicio 2 · Extraordinaria Suplente 2019

Para f(x) = cos(x) y g(x) = sen(x) en [-pi, pi]: (a) esboza las gráficas y halla los puntos de corte; (b) calcula el área delimitada en [-3pi/4, pi/4].

Opción A - Ejercicio 1 · Extraordinaria Titular 2019

Dada la función f(x) = 6 - (1/6)x^2, calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de f y la recta y = 0.

Opción A - Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2019

Determina la función f: (0, +∞) -> ℝ sabiendo que f'(x) = ln(x)/√x y que su gráfica pasa por el punto (1,0).

Opción B - Ejercicio 1 · Extraordinaria Titular 2019

Se sabe que la función $f(x)$ definida a trozos por $\operatorname{sen}(x) + ax + b$ si $x \le 0$ y $\dfrac{\ln(x + 1)}{x}$ si $x > 0$ es derivable. Calcula $a$ y $b$.

Opción B - Ejercicio 2 · Extraordinaria Titular 2019

Para f(x) = x*e^(-x^2): (a) Calcula los puntos de corte con los ejes y los extremos relativos (abscisas y valores). (b) Determina a > 0 tal que el área en [0, a] bajo la curva sea 1/4.

Opción A - Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2019

Calcula lim_{x -> 0} (cos(x) - e^(-2x) - 2x) / sen^2(x).

Opción A - Ejercicio 2 · Ordinaria Suplente 2019

Calcula la integral indefinida int ln((x^2+1)/x) dx mediante integración por partes.

Opción B - Ejercicio 1 · Ordinaria Suplente 2019

Dada la función a trozos f(x) = x^2 - ax + 2b si x <= 0 y f(x) = ln(x+1)/x si x > 0, calcular a y b sabiendo que es derivable.

Opción B - Ejercicio 2 · Ordinaria Suplente 2019

Esbozar las gráficas de f(x) = sen(x) y g(x) = sen(2x) en [0, pi], hallar los puntos de corte y calcular el área comprendida entre ambas gráficas y las rectas x = 0 y x = pi/3.

Opción A - Ejercicio 1 - Crecimiento y decrecimie… · Ordinaria Titular 2019

Considera la función f(x) = (x^2 + 3x + 4)/(2x + 2) para x != -1. (b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.

Opción A - Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2019

Sea f(x) = (1 + e^x)/(1 - e^x) para x > 0. Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (1, 1), usando la sugerencia t = e^x.

Opción B - Ejercicio 1 · Ordinaria Titular 2019

Considera la función f: R -> R definida por f(x) = (x - a)e^x. (a) Determina a sabiendo que f tiene un punto crítico en x = 0. (b) Para a = 1, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de f.

Opción B - Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2019

f(x) = ln(x+2), g(x) = (x-3)/2. (a) Esboza el recinto delimitado por f, g, x = 1 y x = 3. (b) Calcula el área de dicho recinto.

Opción A - Ejercicio 1 · Reserva A 2019

Según el modelo, la concentración en sangre viene dada por C(t) = t·e^(-t/2) mg/ml con t >= 0 horas transcurridas. (a) Determina, si existe, el valor máximo absoluto de la función y en qué momento se alcanza. (b) Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es 1 mg/ml, señala razonadamente si hay riesgo para el…

Opción A - Ejercicio 2 · Reserva A 2019

Cálculo del parámetro a > 0 tal que el área encerrada entre f(x) = x^2 - ax y la recta y = 2ax sea igual a 36.

Opción B - Ejercicio 1 · Reserva A 2019

Dada f(x) = 1/x + ln(x) en (1, e), determina la recta tangente a la gráfica de f que tiene pendiente máxima.

Opción B - Ejercicio 2 · Reserva A 2019

Sea f: [0, π/6] -> R continua y F su primitiva con F(0) = π/3 y F(π/6) = π. Calcula (a) ∫[0, π/6] (3f(x) - cos(x)) dx y (b) ∫[0, π/6] sen(F(x))f(x) dx.

Opción A - Ejercicio 1 · Reserva B 2019

Dada la función f: (0, 2π) -> R, f(x) = sen(x) + cos(x), calcula sus máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión de la gráfica de f (abscisas y valores alcanzados).

Opción A - Ejercicio 2 · Reserva B 2019

Sea f(x) una función a trozos dada por f(x) = -x² + 6x - 8 si x ≤ 4 y f(x) = x² - 6x + 8 si x > 4. En el apartado (a) se piden los puntos de corte con la recta y = 2x - 4 y el esbozo del recinto delimitado. En el apartado (b) se pide calcular el área de dicho recinto.

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