EJERCICIO 1 · Matemáticas II PAU Andalucía Extraordinaria Titular 2023

Tema: Sentido de la medida · Del examen Extraordinaria Titular (2023)

Enunciado

EJERCICIO 1. (2,5 puntos)

Sea la función f:[−2,2π]→Rf: [-2, 2\pi] \to \mathbb{R}, definida por f(x)={5x+1si −2≤x≤0excos⁡(x)si 0<x≤2πf(x) = \begin{cases} 5x + 1 & \text{si } -2 \le x \le 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \le 2\pi \end{cases}

a)

[2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

b)

[0,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=π2x = \frac{\pi}{2}.

Enunciado: EJERCICIO 1 · Matemáticas II PAU Andalucía Extraordinaria Titular 2023

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Halla los extremos relativos y absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Solución: Máximo relativo en x=π4x = \frac{\pi}{4} con valor f(π4)=22eπ/4f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}e^{\pi/4}; Mínimo relativo en x=5π4x = \frac{5\pi}{4} con valor f(5π4)=−22e5π/4f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4}. Máximo absoluto en x=2πx = 2\pi con valor f(2π)=e2πf(2\pi) = e^{2\pi}; Mínimo absoluto en x=5π4x = \frac{5\pi}{4} con valor f(5π4)=−22e5π/4f(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}e^{5\pi/4}.

b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = π/2.

Solución: y=−eπ/2(x−π2)y = -e^{\pi/2}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) / y=−eπ/2x+π2eπ/2y = -e^{\pi/2}x + \frac{\pi}{2}e^{\pi/2}

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