Opción A - Ejercicio 2 · Matemáticas II PAU Andalucía Reserva B 2019

Tema: Sentido de la medida · Del examen Reserva B (2019)

Enunciado

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función dada por

$f(x) = \begin{cases} -x^2 + 6x - 8 & \text{si } x \le 4 \\ x^2 - 6x + 8 & \text{si } x > 4 \end{cases}$

(a)

[1,5 puntos] Calcula los puntos de corte entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 2x - 4$ . Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $f$ y la recta.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

(b)

[1 punto] Calcula el área del recinto anterior.

Enunciado: Opción A - Ejercicio 2 · Matemáticas II PAU Andalucía Reserva B 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Abscisa $x_1$ del primer punto de corte (menor abscisa)

Solución: 2

Ordenada $y_1$ del primer punto de corte

Solución: 0

Abscisa $x_2$ del segundo punto de corte (mayor abscisa)

Solución: 6

Ordenada $y_2$ del segundo punto de corte

Solución: 8

Esboza el recinto que delimitan la gráfica de $f$ y la recta.

Solución: Para $x \in [2, 4]$ , la recta $y = 2x - 4$ queda por encima de la parábola cóncava $y = -x^2 + 6x - 8$ (con vértice en $(3, 1)$ ), siendo tangente a ella en $(2, 0)$ . Para $x \in [4, 6]$ , la recta también queda por encima de la parábola convexa $y = x^2 - 6x + 8$ (con vértice en $(3, -1)$ ), intersecando a la curva en $(6, 8)$ . En $x = 4$ la función cambia de rama y vale $f(4) = 0$ .

(b) Calcula el área del recinto anterior.

Solución: 8

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Enunciado

Solución

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