Ejercicio 3 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Suplente 2 2025

a) Abscisa del primer punto de corte $x_1$ (menor abscisa)

Solución: -1

a) Valor de la función en $x_1$, $y_1 = f(x_1)$

Solución: 0

a) Abscisa del segundo punto de corte $x_2$ (mayor abscisa)

Solución: 1

a) Valor de la función en $x_2$, $y_2 = f(x_2)$

Solución: 0

b) Calcula el área del recinto acotado y limitado por las gráficas de f y g

Solución: 4/3

a) Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas

Solución: Esbozo del recinto: - La parábola $g(x) = -x^2 + 1$ tiene vértice en $(0, 1)$, ramas hacia abajo y corta al eje de abscisas en $(-1, 0)$ y $(1, 0)$. - La cúbica $f(x) = x^3 - x$ es impar, pasa por $(-1, 0)$, $(0, 0)$ y $(1, 0)$, tiene un máximo relativo en $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$ y un mínimo en $(1/\sqrt{3}, -2/(3\sqrt{3}))$. - En el intervalo $(-1, 1)$, $g(x) \ge f(x)$, coincidiendo en los extremos $x = -1$ (donde son tangentes con pendiente $2$) y $x = 1$. El recinto está delimitado entre ambas curvas.