Opción B - Ejercicio 1.a - Crecimiento y extremos · Matemáticas II PAU Andalucía Extraordinaria Titular 2013

Tema: Sentido de la medida · Del examen Extraordinaria Titular (2013)

Enunciado

Sea f:(0,+∞)→Rf:(0, +\infty) \to \mathbb{R} la función definida por f(x)=2ln⁡(x)x2f(x) = \frac{2\ln(x)}{x^2} (donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano).

a)

[1'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Enunciado: Opción B - Ejercicio 1.a - Crecimiento y extremos · Matemáticas II PAU Andalucía Extraordinaria Titular 2013

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Derivada f′(x)f'(x):

Solución: 2(1−2ln⁡(x))x3\frac{2(1 - 2\ln(x))}{x^3} / 2−4ln⁡(x)x3\frac{2 - 4\ln(x)}{x^3}

Punto crítico (abscisa xx donde f′(x)=0f'(x) = 0):

Solución: e\sqrt{e} / e1/2e^{1/2}

Intervalo de crecimiento:

Solución: (0,e)(0, \sqrt{e}) / (0,e1/2)(0, e^{1/2})

Intervalo de decrecimiento:

Solución: (e,+∞)(\sqrt{e}, +\infty) / (e1/2,+∞)(e^{1/2}, +\infty)

Tipo de extremo relativo en el punto crítico:

Solución: Máximo relativo

Valor que alcanza el extremo relativo (f(x)f(x) en el extremo):

Solución: 1e\frac{1}{e} / e−1e^{-1}

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