Opción B - Ejercicio 2 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Titular 2019

Tema: Sentido de la medida · Del examen Ordinaria Titular (2019)

Enunciado

Considera las funciones $f: (-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ , definida por $f(x) = \ln(x + 2)$ ( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , definida por $g(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$ .

(a)

[1 punto] Esboza el recinto que determinan la gráfica de $f$ , la gráfica de $g$ , la recta $x = 1$ y la recta $x = 3$ . (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).

(b)

[1,5 puntos] Determina el área del recinto anterior.

u²

Enunciado: Opción B - Ejercicio 2 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Titular 2019

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Esboza el recinto que determinan la gráfica de f, la gráfica de g, la recta x = 1 y la recta x = 3.

Solución: El esbozo debe mostrar: - La curva $f(x) = \ln(x + 2)$ , creciente y cóncava, con asíntota vertical en $x = -2$ , pasando por $(1, \ln 3) \approx (1, 1{,}1)$ y $(3, \ln 5) \approx (3, 1{,}61)$ . - La recta $g(x) = \frac{1}{2}(x - 3)$ , con pendiente $1/2$ , pasando por $(1, -1)$ y $(3, 0)$ . - Las rectas verticales $x = 1$ y $x = 3$ . - En todo el intervalo $[1, 3]$ , $f(x) > g(x)$ , de modo que el recinto queda cerrado entre la curva superior $f(x)$ , la recta inferior $g(x)$ , y los límites verticales $x = 1$ y $x = 3$ .

(b) Determina el área del recinto anterior.

Solución: 5\ln(5) - 3\ln(3) - 1 \approx 3{,}75

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Enunciado

Solución

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