Ejercicios de Sentido espacial

97 ejercicios de Sentido espacial de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de Andalucía (PAU/PEvAU) 2013-2026. Con solución paso a paso.

EJERCICIO 2 · Ordinaria Suplente 1 2026

Considera los puntos P(4,-2,3) y Q(6,2,1). a) Halla la ecuación del plano respecto del cual los puntos P y Q son simétricos. b) Determina el ángulo formado por el plano 2x + y + z - 5 = 0 y la recta que une P y Q.

Ejercicio 3.1 · Ordinaria Suplente 2 2026

Dado el plano 4x + 5y - 20z + 20 = 0: a) Hallar el área del triángulo determinado por su intersección con los ejes coordenados. b) Hallar los planos paralelos a dicho plano que distan 2 unidades del punto P(2,2,1).

Ejercicio 3.2 · Ordinaria Suplente 2 2026

Dados los planos pi_1 = 2x - y - z = 7 y pi_2 = x - 2y + z = 3 y el punto P(1, 1, 0): a) Determinar la ecuación de la recta que pasa por P y es paralela a ambos planos. b) Hallar la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a ambos planos.

Ejercicio 2 · Ordinaria Titular 2026

Considera los puntos A(1, 2, 0), B(2, m, 1), C(3, 4, 2) y D(1, -1, m). a) Halla los valores de m para los cuales los puntos son coplanarios. b) Para m = 1, calcula el área del triángulo de vértices A, B, C y el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D.

EJERCICIO 1 · Extraordinaria Suplente 1 2025

Considera las rectas r y s dadas en forma continua. a) Determina k sabiendo que se cortan en un punto. b) Para k = 0, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

EJERCICIO 6 · Extraordinaria Suplente 2 2025

Considera la recta r: x + y + z = 0, y - z = 0 y el punto P(2, 1, 0). a) Halla la distancia del punto P a la recta r. b) Calcula la ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto P.

Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2025

Considera la recta r dada por las ecuaciones implícitas x - y + z = 3 y x + 2y - z = 4, y el plano π de ecuación mx - y - 2z = 5. a) Halla m para que r y π sean paralelos. b) Para m = -8, calcula la distancia de la recta r al plano π.

Ejercicio 5 · Extraordinaria Titular 2025

Sean las rectas r y s en el espacio. a) Estudia la posición relativa de las rectas r y s. b) Halla la ecuación de un plano que contiene a r y a una recta perpendicular a las rectas r y s.

EJERCICIO 4 · Ordinaria Suplente 1 2025

Sean los puntos A(3, -1, 1), B(1, 3, -3) y C(-2, -2, 1). a) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Halla los puntos D pertenecientes al eje OZ para que el tetraedro de vértices A, B, C y D tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.

EJERCICIO 5 · Ordinaria Suplente 1 2025

Considera el plano π ≡ 2x + y + 2z + 5 = 0. a) Calcula el punto simétrico de P(1, 0, 1) respecto de π. b) Calcula los planos paralelos a π y que disten 2 unidades de π.

Ejercicio 6 · Ordinaria Suplente 2 2025

Considera el plano pi: x + y + z + 1 = 0 y los puntos A(1, 2, 0) y B(3, 1, 0). a) Calcula el simétrico de A respecto a pi. b) Halla el plano que contiene a A y B y es perpendicular a pi.

Ejercicio 4 · Ordinaria Titular 2025

Sean los puntos O(0,0,0), A(0,2,-2), B(1,2,m) y C(2,3,2). a) Halla los valores de m para que el tetraedro determinado por O, A, B y C tenga un volumen de 3 unidades cúbicas. b) Para m = 0, calcula la distancia del punto O al plano que pasa por A, B y C.

Ejercicio 5 · Ordinaria Titular 2025

Considera el punto P(1, 1, 1) y la recta r: (x-1)/1 = (y-2)/2 = (z-3)/2. a) Halla el plano que pasa por P y contiene a r. b) Halla la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

EJERCICIO 7 · Extraordinaria Reserva 2024

Considera las rectas r y s dadas: a) Calcula a para que las rectas se corten. b) Para a = -1, halla la recta que corta perpendicularmente a r y s.

EJERCICIO 8 · Extraordinaria Reserva 2024

Considera los vectores u = (1, a, 2) y v = (-2, 1, a). a) Calcula a para que ambos vectores formen un ángulo de pi/3 radianes. b) Calcula a para que el vector (u x v) - v sea ortogonal a u.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Suplente 2024

Considera pi: x - y = 0 y r: (x-1)/2 = y/3 = z-2. a) Calcula el plano perpendicular a pi que contiene a r. b) Calcula la recta perpendicular a r, contenida en pi y que pasa por el origen.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Suplente 2024

Considera los puntos O(0,0,0), A(a,-1,2) y B(a,1,0). a) Determina a para que el triángulo OAB tenga área 3 unidades cuadradas. b) Calcula a para que O, A y B sean coplanarios con el punto C(1,1,0).

Ejercicio 7 · Extraordinaria Titular 2024

Considera pi: x - 2y + z - 2 = 0 y r: x = 1 + 2lambda, y = lambda, z = 1. a) Estudia la posición relativa de pi y r. b) Calcula la ecuación de la recta contenida en pi que pasa por P(2, -1, -2) y es perpendicular a r.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Titular 2024

Considera los puntos A(4, 0, 0) y B(0, 2, 0). Calcula los puntos del plano OXZ que forman un triángulo equilátero con A y B.

Ejercicio 7 · Ordinaria Reserva 2024

Considera la recta r y el punto P(0, 2, -4). a) Calcula el punto de r a menor distancia de P. b) Halla los puntos de r cuya distancia a P sea igual a √50.

Ejercicio 8 · Ordinaria Reserva 2024

Sea $\pi_1$ el plano determinado por los puntos $A(1,0,0)$, $B(1,1,-3)$ y $C(0,1,1)$, y sea $\pi_2 \equiv x - y + z - 1 = 0$. Determina la ecuación de la recta paralela a ambos planos que pasa por el origen.

EJERCICIO 7 · Ordinaria Suplente 2024

Considera los puntos P(1, 0, 1) y Q(3, -2, 1). a) Calcula el plano perpendicular al segmento PQ que pasa por su punto medio. b) Calcula el plano paralelo a la recta r: 1 - x = (y - 2)/3 = z + 1 que pasa por P y Q.

EJERCICIO 8 · Ordinaria Suplente 2024

Considera los puntos A(1, 1, 2), B(1, 0, 1) y C(1, -1, 2). a) Determina el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcula D para que los puntos A, B, C y D sean los vértices consecutivos de un paralelogramo.

EJERCICIO 7 · Ordinaria Titular 2024

a) Halla el punto simétrico de P(2, 2, 1) respecto de la recta r: { x - 2y + z = 2, y - z = 1 }. b) Halla el punto simétrico de Q(1, -1, -3) respecto del plano pi: x - 2y + z + 6 = 0.

EJERCICIO 8 · Ordinaria Titular 2024

Considera las rectas r: { y = 0, 2x - z = 0 } y s: { x + y + 7 = 0, z = 0 }. a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Calcula la ecuación del plano paralelo a r y s que equidista de ambas rectas.

EJERCICIO 7 · Extraordinaria Reserva 2023

Considera el plano π determinado por los puntos A(-1, 0, 0), B(0, 1, 1) y C(2, 1, 0), y la recta r dada por las ecuaciones implícitas x - 2z - 3 = 0 e y - z - 2 = 0. Halla los puntos de r cuya distancia a π es √14 unidades.

EJERCICIO 8 · Extraordinaria Reserva 2023

Considera el paralelogramo cuyos vértices consecutivos son P(-1, 2, 3), Q(-2, 1, 0), R(0, 5, 1) y S. a) Halla las coordenadas del punto S. b) Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos P, Q y R.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Suplente 2023

Determina los puntos de la recta r: { x - y + z = 0, x + 3y - 1 = 0 } que son equidistantes de los planos cartesianos OYZ y OXZ.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Suplente 2023

Considera la recta r dada por intersección de planos x - y + z = 1 y 3x - 2z = -2. a) Determina la ecuación del plano paralelo a r que contiene a la recta s: -x + 1 = y = (z - 3)/2. b) Calcula la distancia entre la recta r y el plano 2x + 5y + 3z = 41.

EJERCICIO 7 · Extraordinaria Titular 2023

Considera los planos π1: x - y + z = 0 y π2: x + y = 2. a) Calcula la distancia entre la recta intersección de π1 y π2 y el punto P(2,6,-2). b) Halla el ángulo que forman π1 y π2.

EJERCICIO 8 · Extraordinaria Titular 2023

Calcula el volumen del tetraedro que limita el plano determinado por los puntos A(0, 2, -2), B(3, 2, 1) y C(2, 3, 2) con los planos cartesianos.

EJERCICIO 7 · Ordinaria Reserva 2023

Dados los puntos A(1, -2, 3) y B(2, 0, -1): a) Hallar los puntos que dividen el segmento AB en cuatro partes iguales. b) Determinar la ecuación del plano perpendicular al segmento AB que pasa por su punto medio.

EJERCICIO 8 · Ordinaria Reserva 2023

Dado el plano π ≡ x + y + z = 0 y la recta r ≡ x - 1 = y/2 = (z + 1)/2, hallar la ecuación de un plano π' paralelo a π tal que la distancia entre los puntos de corte Q y Q' de r con π y π' sea de 2 unidades.

Ejercicio 7 · Ordinaria Suplente 2023

Determina el punto simétrico de A(2, -4, -3) con respecto al plano que contiene a los puntos B(1, 1, 2), C(0, 1/3, 1) y D(-3, 0, 3).

Ejercicio 8 · Ordinaria Suplente 2023

Dados los puntos O(0,0,0), A(2,-1,0), B(3,0,x) y C(-x,1,-1), los vectores OA, OB y OC determinan un paralelepípedo. a) Calcula los posibles valores de x sabiendo que el volumen del paralelepípedo es 5 unidades cúbicas. b) Para x = 1, halla el área de la cara del paralelepípedo que contiene a los vértices O, A y B.

Ejercicio 7 · Ordinaria Titular 2023

El plano perpendicular al segmento de extremos P(0, 3, 8) y Q(2, 1, 6) que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A, B y C.

Ejercicio 8 · Ordinaria Titular 2023

Considera el punto A(-1, 1, 3) y la recta r determinada por B(2, 1, 1) y C(0, 1, -1). a) Halla la distancia de A a r. b) Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Reserva 2022

Considera el triángulo de vértices A(0, 2, 3), B(m, 0, 1) y C(2, 1, 2). a) Halla los valores de m para que el área sea sqrt(18)/2 unidades cuadradas. b) Para m = 0, calcula el coseno del ángulo en el vértice A.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Reserva 2022

Considera el punto P(2, 0, -4) y el plano π dado en paramétricas. Halla el punto simétrico de P respecto al plano π y calcula la distancia del punto P al plano π.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Suplente 2022

Dado el plano pi: 2x + y - 2z - 2 = 0, halla las ecuaciones de los planos paralelos a pi que distan 2 unidades de él. Calcula el volumen del tetraedro formado por el origen y los puntos de corte de pi con los ejes coordenados.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Suplente 2022

Considera las rectas r y s. a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Calcula la ecuación del plano que contiene a s y es paralelo a r.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Titular 2022

Considera las rectas r y s. a) Calcula a para que r y s se corten y determina dicho punto de corte. b) Halla la ecuación del plano que pasa por P(8, -7, 2) y contiene a s.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Titular 2022

Dados el plano π: x + y - z = 2 y la recta r: x = y/3 = z - 1, halla: a) el punto de intersección de π y r, b) el simétrico del punto Q(2, 6, 3) respecto del plano π.

Ejercicio 7 · Ordinaria Reserva 2022

Determinación de planos que contienen a una recta y son paralelos o perpendiculares a otra.

Ejercicio 8 · Ordinaria Reserva 2022

Cálculo de puntos de una recta equidistantes a dos planos y ángulo entre ellos.

Ejercicio 7 · Ordinaria Suplente 2022

Hallar el plano perpendicular a π que contiene a r y calcular la distancia entre r y π.

Ejercicio 8 · Ordinaria Suplente 2022

Hallar los puntos de la recta r que equidistan de los planos π_1 y π_2, y hallar el seno del ángulo entre π_1 y r.

Ejercicio 7 · Ordinaria Titular 2022

Calcula a y b para que w=(1,a,b) sea ortogonal a u y v, y determina los cuatro vértices de un paralelogramo con lados según u y v que tiene a OA como diagonal.

Ejercicio 8 · Ordinaria Titular 2022

Calcula a para que las rectas r y s se corten, y calcula a para que sean perpendiculares.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Reserva 2021

Considera P(1, 2, 6) y el plano π: 2x - y + z = 0. a) Halla los planos paralelos a π a distancia √6. b) Halla el simétrico de P respecto a π.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Reserva 2021

Considera B(-1, 0, -1), C(0, 1, -3) y r: x = -λ, y = 1 + 2λ, z = -1 + λ. a) Calcula un punto de r equidistante de B y C. b) Con D(1, -1, -2), calcula el área del triángulo BCD.

EJERCICIO 7 · Extraordinaria Suplente 2021

Considera el punto P(1, 0, 1) y el plano π ≡ x - y + z + 1 = 0. a) Halla el simétrico del punto P respecto al plano π. b) Halla la distancia del punto P al plano π.

EJERCICIO 8 · Extraordinaria Suplente 2021

Dadas las rectas r y s: a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Calcular, si es posible, el plano que contiene a r y a s.

Ejercicio 7 · Extraordinaria Titular 2021

La recta perpendicular desde A(1, 1, 0) a un plano π corta a este en B(1, 1/2, 1/2). a) Calcula la ecuación del plano π. b) Halla la distancia del punto A a su simétrico respecto a π.

Ejercicio 8 · Extraordinaria Titular 2021

Considera las rectas r: { x = 3 + λ, y = 1, z = -3 - λ } y s: { x + y = 1, z = 0 }. a) Estudia la posición relativa de r y s. b) Halla la recta que corta perpendicularmente a r y a s.

Ejercicio 7 · Ordinaria Reserva 2021

Dadas las rectas r y s, sabiendo que dos lados de un cuadrado están contenidos en ellas, calcula el área del cuadrado.

Ejercicio 8 · Ordinaria Reserva 2021

Dadas dos rectas r (con parámetro m) y s: a) Estudia su posición relativa según m. b) Para m = 1, calcula el coseno del ángulo que forman.

Ejercicio 7 · Ordinaria Suplente 2021

Considera las rectas r y s. a) Halla el plano que contiene a r y es paralelo a s. b) Deduce razonadamente que ningún plano perpendicular a s contiene a r.

Ejercicio 8 · Ordinaria Suplente 2021

Considera los puntos A(1, 2, 3), B(-2, 4, -3) y C(-10, 1, 0). a) Halla el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Halla el plano que equidista de A y B.

Ejercicio 7 · Ordinaria Titular 2021

Calcula el plano perpendicular a la recta s que pasa por P(1, 0, -5) y el seno del ángulo que forma la recta r con el plano pi: -2x + y + 2z = 0.

Ejercicio 8 · Ordinaria Titular 2021

La recta r y la recta s que pasa por P(1, 0, 2) y Q(a, 1, 0) se cortan en un punto. Calcula el valor de a y el punto de corte.

Ejercicio 4 · Examen 1 2020

Considera el tetraedro de vértices A(0,0,0), B(1,1,0), C(0,1,3) y D(1,0,3). Calcula: a) el volumen del tetraedro; b) la medida de la altura trazada desde el vértice A.

Ejercicio 8 · Examen 1 2020

Considera los puntos A(-1, 3, 2), B(2, -1, -1) y C(a - 2, 7, b). a) Determina a y b para que los puntos A, B y C estén alineados. b) En el caso a = b = 1, halla la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano que contiene a A, B y C.

EJERCICIO 4 · Examen 2 2020

Considera el punto P(1, 0, -1) y la recta r dada por x - y + 2z = 5 y x - z = 1. a) Determina el punto simétrico de P respecto de r. b) Calcula el punto de la recta r que dista sqrt(6) unidades de P.

EJERCICIO 8 · Examen 2 2020

Considera los vectores u=(2,1,0), v=(1,0,-1) y w=(a,b,1). a) Halla a y b sabiendo que u, v y w son linealmente dependientes y que w es ortogonal a u. b) Para a=1, calcula el valor o valores de b para que el volumen del paralelepípedo formado sea de 6 unidades cúbicas.

EJERCICIO 4 · Examen 3 2020

Considera los puntos A(t, 2, -1), B(0, 1, 1), C(-1, 0, 2) y D(2, 3, -t - 1). a) Calcula el valor o valores de t para que el volumen del tetraedro de vértices A, B, C, D sea 5 unidades cúbicas. b) Para t = 0, calcula la distancia del punto A a la recta determinada por los puntos B y C.

EJERCICIO 8 · Examen 3 2020

Considera el punto A(0, 1, -2) y los planos π₁ ≡ 2x - y - z + 5 = 0 y π₂ ≡ x + 5y - 6z - 4 = 0. a) Halla el punto simétrico de A respecto de π₁. b) Determina la recta que pasa por A y es paralela a π₁ y π₂.

EJERCICIO 4 · Examen 4 2020

Considera el plano π ≡ x - y + az = 0 y la recta r dada por la intersección de 4x - 3y + 4z = 1 y 3x - 2y + z = 0. a) Halla a sabiendo que π es paralelo a r. b) Determina el plano perpendicular a r que pasa por el punto P(1, 2, 3).

EJERCICIO 8 · Examen 4 2020

Considera el plano π: x - y + z = 2 y la recta r: x/2 = (y + 1)/1 = (z + 2)/(-1). Calcula la distancia entre r y π, y halla la ecuación general del plano perpendicular a π que contiene a r.

EJERCICIO 4 · Examen 5 2020

Considera los puntos A(1, 0, 1), B(-1, 0, 2) y O(0, 0, 0), y la recta r dada en paramétricas: x = -1 - λ, y = λ, z = 2. a) Calcula la distancia del punto A a la recta r. b) Determina el área del triángulo de vértices A, B y O.

EJERCICIO 8 · Examen 5 2020

Considera el plano pi: 2x - y + z - 3 = 0, la recta r dada en paramétricas y el punto P(1, 1, 2). a) Determina la ecuación general del plano perpendicular a pi, paralelo a r y que pasa por P. b) Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.

Ejercicio 4 · Examen 6 2020

Estudiar la posición relativa de dos rectas r y s según el parámetro a != 0. Para a = 2, hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto de corte de r y s y es perpendicular a ambas.

Ejercicio 8 · Examen 6 2020

Dado el punto A(1, -2, 0) y la recta r dada como intersección de planos x + y = 0 e y - 3z + 2 = 0, calcular: a) El plano que pasa por A y es perpendicular a r. b) El plano que pasa por A y contiene a r.

Opción A - Ejercicio 4 · Extraordinaria Suplente 2019

Sea r la recta que pasa por P(2, -2, -1) con v = (k, 3+k, -2k) y π el plano -x + 2y + 2z - 1 = 0. a) Calcula k para que r sea paralela a π. b) Calcula k para que r sea perpendicular a π. c) Para k = -1, calcula los puntos de r que distan 3 unidades de π.

Opción B - Ejercicio 4 · Extraordinaria Suplente 2019

Considera el punto P(-5, 3, 1) y la recta r dada por x/2 = (y-3)/2 = (z-2)/(-1). Se pide: (a) Calcular la ecuación general del plano que pasa por P y contiene a r. (b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

Opción A - Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2019

Dados los vectores u=(1,2,3), v=(1,-2,-1) y w=(2, alpha, beta), determinar: (a) alpha y beta para que w sea ortogonal a u y v; (b) alpha y beta para que w y v tengan la misma dirección; (c) para alpha = 8, beta para que w sea combinación lineal de u y v.

Opción B - Ejercicio 4 · Extraordinaria Titular 2019

Considera las rectas r y s. (a) Halla k sabiendo que ambas rectas se cortan en un punto. (b) Para k = 1, halla la ecuación general del plano que contiene a r y es paralelo a s.

Opción A - Ejercicio 4 · Ordinaria Suplente 2019

Ejercicio 4.- Considera el punto A(2, 1, 0) y los planos π1 ≡ x + y + z = 0 y π2 ≡ x - y + z = 0. (a) [1,25 puntos] Calcula la recta que pasa por A y es paralela a π1 y a π2. (b) [1,25 puntos] Calcula los puntos de la recta s ≡ (x-1)/2 = (y-2)/3 = z/2 que equidistan de π1 y π2.

Opción B - Ejercicio 4 · Ordinaria Suplente 2019

Considera los puntos A(0, 3, -1) y B(0, 1, a) y el plano π de ecuación x - y + z = 0. Determina a sabiendo que la recta AB es paralela al plano π; halla el punto de corte del plano π con la recta perpendicular que pasa por A; y para a = 2 halla el plano que contiene a A y B y es perpendicular a π.

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