Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2020

Tema: Análisis · Del examen Ordinaria (2020)

Enunciado

Dadas las funciones f(x)=x3+3x2−1f(x) = x^3 + 3x^2 - 1 y g(x)=6xg(x) = 6x, se pide:

a)

(0.5 puntos) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1,10][1, 10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.

b)

(1 punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) con pendiente mínima.

c)

(1 punto) Calcular ∫12f(x)g(x) dx\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{g(x)}\,dx.

Enunciado: Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) (0.5 puntos) Justificar, usando el teorema adecuado, que existe algún punto en el intervalo [1, 10] en el que ambas funciones toman el mismo valor.

Solución: Aplicando el teorema de Bolzano a h(x)=f(x)−g(x)h(x) = f(x) - g(x), existe c∈(1,10)c \in (1, 10) tal que h(c)=0⇒f(c)=g(c)h(c) = 0 \Rightarrow f(c) = g(c).

b) (1 punto) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva y = f(x) con pendiente mínima.

Solución: y=−3(x+1)+1y = -3(x + 1) + 1 / y=−3x−2y = -3x - 2

c) (1 punto) Calcular \int_1^2 \frac{f(x)}{g(x)}\,dx.

Solución: 4136−ln⁡26≈1,023364\frac{41}{36} - \frac{\ln 2}{6} \approx 1{,}023364

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