Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria Coincidencias 2020

a) (1.25 puntos) Estudiar su crecimiento en el intervalo $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Justificar, usando el teorema adecuado, que la función se anula en algún punto de ese intervalo. Justificar razonadamente que ese punto es único.

Solución: La derivada de $f$ es $f'(x) = -x\operatorname{sen} x$, que es negativa en $(0, \pi/2)$. Por tanto, $f$ es estrictamente decreciente en $(0, \pi/2)$. Como $f(0) = 1/2$ y $f(\pi/2) = -1/2$ y $f$ es continua, el Teorema de Bolzano permite afirmar que existe un valor $c \in [0, \pi/2]$ tal que $f(c) = 0$. Al ser $f$ estrictamente decreciente en el intervalo, dicho valor $c$ es único.

b) (1.25 puntos) Calcular $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)\,dx$ (desarrollo)

Solución: $$\int \left(\frac{1}{2} - \operatorname{sen} x + x \cos x\right) dx = \frac{x}{2} + 2\cos x + x\operatorname{sen} x + C$$ $$\left[\frac{x}{2} + 2\cos x + x\operatorname{sen} x\right]_0^{\pi/2} = \frac{3\pi - 8}{4} = \frac{3\pi}{4} - 2$$

b) Valor de $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(x)\,dx$

Solución: $\dfrac{3\pi - 8}{4}$ / $\dfrac{3\pi}{4} - 2$