Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2021

Enunciado

a) Calcule, en caso de existir, el valor de los siguientes límites:

a.1)

$\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - 2x)}{x - 2x^2 - \operatorname{sen} x}$

a.2)

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\left(\frac{3}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen}\frac{1}{x}}\right)$

(Indicación: use el cambio de variable $t = 1/x$ donde sea necesario).

b) Calcule las siguientes integrales:

b.1)

$\int \frac{x}{x^2 - 1}\,dx$

Introduce la primitiva (puedes omitir la constante $+ C$ ).

b.2)

$\int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx$

Enunciado: Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2021

Según los criterios oficiales de corrección

a.1) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 - 2x)}{x - 2x^2 - \operatorname{sen} x}$

Solución: -1/2

a.2) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\left(\frac{3}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen}\frac{1}{x}}\right)$

Solución: -2

b.1) $\int \frac{x}{x^2 - 1}\,dx$

Solución: \frac{1}{2}\ln|x^2-1|

b.2) $\int_0^1 x^2 e^{-x}\,dx$

Solución: 2 - 5e^{-1}

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