Ejercicio 2.B - a) · Matemáticas II PAU Extremadura Extraordinaria 2026

Justifica, indicando los teoremas en los que te basas, que la ecuación $x^3-2x^2+2x-2=0$ tiene una única solución real

Solución: Consideramos la función $f(x) = x^3-2x^2+2x-2$, continua y derivable en todo $\mathbb{R}$ por ser polinómica. 1. Existencia (Teorema de Bolzano): Evaluamos en $x = 1$ y $x = 2$: $$f(1) = 1 - 2 + 2 - 2 = -1 < 0$$ $$f(2) = 8 - 8 + 4 - 2 = 2 > 0$$ Como $f$ es continua en $[1, 2]$ y $f(1) \cdot f(2) < 0$, por el Teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (1, 2)$ tal que $f(c) = 0$. 2. Unicidad (Teorema de Rolle / Monotonía): Calculamos la derivada primera: $$f'(x) = 3x^2 - 4x + 2$$ El discriminante de $3x^2 - 4x + 2 = 0$ es $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 - 24 = -8 < 0$. Al ser el coeficiente principal $3 > 0$, se cumple que $f'(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$, luego $f$ es estrictamente creciente en todo su dominio. Por tanto, no puede cortar al eje $OX$ en más de un punto. (Alternativamente, por reducción al absurdo mediante el Teorema de Rolle: si existieran dos raíces distintas $c_1 < c_2$ con $f(c_1)=f(c_2)=0$, existiría un punto intermedio donde $f'(x)=0$, lo cual es imposible pues $f'(x) > 0$).

Encuentra dicha solución con un error menor de una décima

Solución: $1{,}5$ / $1{,}54$