Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2020

Tema: Análisis · Del examen Extraordinaria (2020)

Enunciado

Dada la funciónf(x)={x−1x2−1si x<1, x≠−1x2+14xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-1}{x^2-1} & \text{si } x < 1,\ x \neq -1 \\[10pt] \dfrac{x^2+1}{4x} & \text{si } x \ge 1 \end{cases}se pide:

a)

Calcular f(0)f(0) y (f∘f)(0)(f \circ f)(0).

b)

Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x) en x=1x = 1 y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.

c)

Estudiar sus asíntotas.

Enunciado: Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcular f(0)f(0)

Solución: 11

a) Calcular (f∘f)(0)(f \circ f)(0)

Solución: 1/21/2

b) Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x) en x=1x = 1 y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.

Solución: f(x)f(x) es continua en x=1x = 1, no derivable en x=1x = 1, y presenta un mínimo relativo en x=1x = 1.

c) Estudiar sus asíntotas.

Solución: Asíntota horizontal y=0y = 0 cuando x→−∞x \to -\infty; asíntota vertical x=−1x = -1; asíntota oblicua y=x4y = \frac{x}{4} cuando x→+∞x \to +\infty.

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