Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2020

Tema: Análisis · Del examen Modelo (2020)

Enunciado

A.2. Calificación máxima: 2.5 puntos.

Dada la función f(x)=e3x−2f(x) = e^{3x-2}, se pide:

a)

(1 punto) Determinar el punto en el que la tangente a la curva y=f(x)y = f(x) tiene pendiente igual a 3e\frac{3}{e} y escribir la ecuación de esta recta tangente.

(ej. (1/3, 1/e) o (1/3, e^(-1)))

b)

(0.5 puntos) Calcular lim⁡x→2/31−f(x)6x−4\lim_{x \to 2/3} \frac{1 - f(x)}{6x - 4}.

c)

(1 punto) Calcular el área de la superficie acotada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas x=0x = 0, y=1y = 1.

Enunciado: Ejercicio A.2 · Matemáticas II PAU Madrid Modelo 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Punto en el que la tangente a la curva y=f(x)y = f(x) tiene pendiente igual a 3/e3/e

Solución: (1/3,e−1)(1/3, e^{-1}) / (1/3,1/e)(1/3, 1/e)

a) Ecuación de la recta tangente

Solución: y−1e=3e(x−13)y - \frac{1}{e} = \frac{3}{e}\left(x - \frac{1}{3}\right) / y=3exy = \frac{3}{e}x

b) lim⁡x→2/31−f(x)6x−4\lim_{x \to 2/3} \frac{1 - f(x)}{6x - 4}

Solución: −1/2-1/2 / −0,5-0{,}5

c) Área de la superficie acotada por la curva y=f(x)y = f(x) y las rectas x=0x = 0, y=1y = 1

Solución: 13(1+e−2)\frac{1}{3}(1 + e^{-2})

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