Exercici 1 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 5 2026

1.1. En quants punts es tallen les gràfiques d'aquestes dues funcions?

Solución: 3

1.1. Calculeu-los tots.

Solución: (0,0), (1,4), (3,6)

1.2. Calculeu l'àrea de la regió situada entre les dues corbes des de $x = 1$ fins a $x = 3$.

Solución: $-\frac{14}{3} + 8\ln(2)$ / $0{,}878$

1.3. Comproveu que $f(x)$ té les arrels als punts d'abscissa $x = 0$ i $x = 5$, i que l'ordenada del vèrtex de la paràbola $y = f(x)$ és $y = 6,25$. Justifiqueu que $y = f(x)$ és l'única paràbola que existeix amb aquestes dues propietats.

Solución: Comprovació: $f(0) = 0$, $f(5) = 0$, vèrtex a $x = 2{,}5$ amb $f(2{,}5) = 6{,}25$. Unicitat: qualsevol paràbola amb arrels 0 i 5 és $y = ax(x - 5)$, i imposant $f(2{,}5) = 6{,}25$ s'obté $-6{,}25a = 6{,}25 \Rightarrow a = -1$.