Exercici 1 · Matemáticas II Selectividad Cataluña Juny Serie 1 2026

1.1. Determineu els valors de m que fan que la funció f(x) sigui contínua en tot el seu domini.

Solución: $m = -2$

1.1. Justifiqueu la resposta.

Solución: Continuïtat fora dels punts de contacte per ser funcions elementals; continuïtat en x = 0 si m = ±2; continuïtat en x = 2 si m = -2; per tant només m = -2 fa la funció contínua a tot ℝ.

1.2. Feu un esbós de la gràfica de y = f(x) per al cas m = -2

Solución: Per representar la funció quadràtica es pot calcular el vèrtex amb la fórmula $x = \frac{-b}{2a} = 2$ o bé observar que és una translació 2 unitats a la dreta i una unitat amunt de la paràbola $y = x^2$. El tram exponencial creix fins a $(0, 5)$ i a partir de $x = 2$ és constant amb valor $y = 1$.

1.2. calculeu l'àrea delimitada per aquesta gràfica, l'eix OX i les rectes x = -1 i x = 3.

Solución: $\frac{47}{6} - \frac{5}{2e^2} \approx 7{,}83$

1.3. Per a m = -2, trobeu un punt on la recta tangent a y = f(x) sigui paral·lela a y = -2x.

Solución: $(1, 2)$

1.3. Calculeu l'equació d'aquesta recta tangent.

Solución: $y = -2x + 4$ / $2x + y - 4 = 0$ / $y - 2 = -2(x - 1)$