Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2021

Tema: Análisis · Del examen Ordinaria (2021)

Enunciado

Se considera la función

f(x)={sen⁡xsi x<0xexsi x≥0f(x) = \begin{cases} \operatorname{sen} x & \text{si } x < 0 \\ x e^x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}

a)

(0.75 puntos) Estudie la continuidad y la derivabilidad de ff en x=0x = 0.

b)

(1 punto) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ff restringida a (−π,2)(-\pi, 2). Demuestre que existe un punto x0∈[0,1]x_0 \in [0, 1] de manera que f(x0)=2f(x_0) = 2.

c)

(0.75 puntos) Calcule ∫−π21f(x)dx\int_{-\frac{\pi}{2}}^1 f(x) dx.

Enunciado: Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de f en x = 0.

Solución: f es continua y derivable en x = 0.

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f restringida a (-π, 2). Demuestre que existe un punto x_0 ∈ [0, 1] de manera que f(x_0) = 2.

Solución: Decreciente en (−π,−π/2)(-\pi, -\pi/2), creciente en (−π/2,0)(-\pi/2, 0) y en (0,2)(0, 2) (y por continuidad en (−π/2,2)(-\pi/2, 2)). Existe x0∈[0,1]x_0 \in [0, 1] tal que f(x0)=2f(x_0) = 2 por el teorema de Bolzano.

c) Calcule ∫_{-π/2}^1 f(x) dx.

Solución: 0

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