Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2022

Enunciado

Sea la función $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ .

(0.5 puntos) Compruebe si $f(x)$ verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo $[-1, 1]$ .

(1 punto) Calcule y clasifique los extremos relativos de $f(x)$ en $\mathbb{R}$ .

(1 punto) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $OX$ en el intervalo $[-1, 1]$ .

Enunciado: Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Ordinaria 2022

Según los criterios oficiales de corrección

a) Compruebe si f(x) verifica las hipótesis del Teorema de Bolzano en el intervalo [-1, 1].

Solución: Sí verifica las hipótesis: $f(x)$ es continua en $[-1, 1]$ y $f(-1) = -\dfrac{1}{2} < 0$ , $f(1) = \dfrac{1}{2} > 0$ .

b) Mínimo relativo de f(x) en R

Solución: $x = -1$ / $(-1, -1/2)$

b) Máximo relativo de f(x) en R

Solución: $x = 1$ / $(1, 1/2)$

c) Determine el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje OX en el intervalo [-1, 1].

Solución: $\ln 2$ / $\ln(2)$ / $0{,}693$

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