Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Enunciado

Sea la función $f(x) = \begin{cases} x & \text{si } x \leq 0 \\ x \ln(x) & \text{si } x > 0 \end{cases}.$

Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f(x)$ en $x = 0$ .

Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$ , así como los máximos y mínimos relativos.

Calcule $\displaystyle \int_1^2 f(x)dx$ .

Enunciado: Ejercicio B.2 · Matemáticas II PAU Madrid Extraordinaria 2022

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudie la continuidad de f(x) en x = 0.

Solución: Sí, es continua en $x = 0$

a) Estudie la derivabilidad de f(x) en x = 0.

Solución: No es derivable en $x = 0$

b) Estudie los intervalos de crecimiento de f(x).

Solución: $(-\infty, 0) \cup (e^{-1}, +\infty)$

b) Estudie los intervalos de decrecimiento de f(x).

Solución: $(0, e^{-1})$

b) Calcule los máximos relativos de f(x).

Solución: $x = 0$ (punto $(0,0)$ )

b) Calcule los mínimos relativos de f(x).

Solución: $x = e^{-1}$ (punto $(e^{-1}, -e^{-1})$ )

c) Calcule $\int_1^2 f(x)dx$ .

Solución: $2\ln(2) - \frac{3}{4}$

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